§ 52. Приведение основных краевых задач к функциональным уравнениям

Используя имеющийся произвол относительно функции мы можем положить для конечной области и для бесконечной области. Так как в случае конечной области точке соответствует точка а для бесконечной области той же точке соответствует то мы можем в обоих случаях принять

Для бесконечной области будем считать, что напряжения равны нулю на бесконечности, главный вектор внешних сил, приложенных к границе, равен нулю и равно нулю вращение на бесконечности. Тогда функции будут голоморфны внутри круга

Будем также считать, что функции непрерывны вплоть до окружности рассматриваемого круга.

а) Запишем граничное условие и ему сопряженное для первой основной задачи:

Умножим обе части равенств на ядро Коши

где точка, лежащая внутри единичного круга и проинтегрируем их по окружности Тогда получим

здесь положено

Согласно теореме Гарнака соотношения эквивалентны. Учитывая, что функции являются граничными значениями регулярных внутри круга функций граничными значениями функций, регулярных вне круга и обращающихся в нуль на бесконечности, на основании свойств интеграла Коши окончательно найдем

Первое уравнение, представляющее функциональное уравнение, совместно с условием случае конечной области величину можно фиксировать произвольно) вполне определяет а затем из второго соотношения может быть найдена функция

б) Поступая как в случае первой основной задачи, для второй основной задачи получим

где

Совершенно аналогично можно получить функциональное уравнение для смешанной краевой задачи, которое имеет несколько более сложный вид; мы на нем не останавливаемся.

Выписанные функциональные уравнения могут быть сведены путем несложного преобразования к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода; мы на этом также не останавливаемся.