§ 74. Уравнения равновесия и граничные условия для геометрически нелинейного тела

При решении некоторых задач теории упругости, как например, задач устойчивости, необходимо принимать во внимание компоненты тензора конечной деформации, определяемые формулами (3.17). Здесь мы ограничимся выводом условий равновесия и граничных условий для этого случая.

Из вариационного уравнения равновесия выведем уравнения равновесия и граничные условия для случая, когда компоненты тензора деформаций заданы в декартовой системе координат (3.24)

Предположим, что тело под действием поверхностной силы и объемной силы находится в равновесии. Тогда вариационное уравнение будет иметь вид

Варьируя выражение (8.35), получим

Непосредственным вычислением легко обнаружить, что данному выражению можно придать вид

Здесь символы Кронекера.

На основании (8.37) вариационное уравнение примет вид

Введем несимметричный тензор вида

Учитывая это, вариационному уравнению равновесия придадим вид

Последнее равенство представим в виде

Применяя здесь формулу Гаусса — Остроградского, найдем

На основании леммы вариационного исчисления будем иметь

Учитывая здесь (8.39), получим уравнения равновесия

и граничные условия