§ 65. Решение частных задач кручения

Приведем несколько примеров решения частных задач кручения призматических брусьев.

а) Призматический брус эллиптического профиля. Функция напряжения Прандтля должна быть постоянной на эллипсе

Функция удовлетворяющая граничному условию, может быть представлена в виде

где А — неизвестная постоянная.

Кроме того, функция внутри эллипса должна удовлетворять уравнению Пуассона; следовательно, для определения величины А получим соотношение

откуда найдем

Тогда

Подставляя в соотношения (7.14), для напряжений и получим формулы

б) Призматический брус, сеченне которого представляет равносторонний треугольник (рис. 32). Уравнения сторон равностороннего треугольника с высотой будут

На этих сторонах функция должна быть постоянной. Это, так же как и в первой задаче, наводит нас на мысль представить функцию в виде

Эта функция на сторонах треугольника равна нулю. Кроме того, функция внутри треугольника должна удовлетворять уравнению Пуассона. Отсюда находим, что Окончательно получим

Из формул (7.14) найдем

в) Круглый призматический брус с полукруглой продольной выточкой (рис. 33). Уравнение контура сечения будет

Функцию напряжения, которая на контуре должна быть равна нулю, ищем в виде

или

Рис. 32

Рис. 33

Кроме того, функция внутри упомянутого контура должна удовлетворять уравнению (7.15). Тогда найдем, что . Следовательно,

Согласно формулам (7.14) имеем

г) Призматический брус с профилем в виде прямоугольника. Чтобы найти решение задачи кручения указанного бруса, определим гармоническую функцию которая на границах прямоугольника принимает значение —

Искомую функцию представим в виде суммы двух гармонических функций

т. е.

Введенная новая гармоническая функция на границе прямоугольника должна удовлетворять условиям

Гармоническую функцию возьмем виде ряда

Учитывая (7.57) в граничных условиях (7.56), получим

Из второго соотношения находим

В результате имеем

Теперь компоненты тензора напряжений могут быть вычислены по формулам (7.12).

д) Призматическое тело круглого сечения с круглым эксцентричным отверстием. Обозначим через область, занятую

каким-либо поперечным сечением тела, ограниченную извне окружностью радиуса а изнутри — окружностью радиуса аффикс центра этой окружности назовем Для данного случая граничные условия (7.48) примут вид

Рис. 34

Так как на имеем и постоянную Со можем выбрать равной — условие (7.58) запишется в виде

на выражение для может быть записано следующим образом:

тогда на будем иметь

Здесь

Решение задачи ищем в виде

где первый ряд представляет собой голоморфную функцию внутри а второй ряд — голоморфную функцию вне Коэффициенты предполагаются вещественными.

Подставим граничные значения функции в условия (7.58) и (7.59), тогда

Преобразуем второе слагаемое, входящее в условие (7.63), тогда

где

Введем вместо индекса новый индекс тогда

Здесь двойное суммирование ведется по целочисленным точкам угла (рис. 35).

Меняя в последней двойной сумме порядок суммирования, найдем

где

Очевидно,

Учитывая в условии (7.63) разложение (7.65), получим и бесконечную систему линейных уравнений

Для получения второй бесконечной системы линейных уравнений преобразуем первое слагаемое, входящее в условие (7.64), тогда

Здесь двойное суммирование ведется по целочисленным точкам угла (рис. 36). Меняя порядок суммирования, будем иметь

Рис. 35

Рис. 36

где

Очевидно,

Тогда условие (7.64) примет вид

Отсюда

где

На основании теоремы существования и единственности решения задач теории упругости можем сделать заключение, что совокупность двух бесконечных систем линейных уравнений (7.68), (7.73) имеет решение и притом оно единственное и ограниченное приближенным ее решением будет решение двух конечных систем, причем число этих уравнений должно фиксироваться в зависимости от параметра, характеризующего близость контуров сечения, и от требуемой точности расчета. После определения корней уравнений (7.68) и (7.73) из соотношения (7.72) определится постоянная

Для иллюстрации решения рассмотрим числовой пример. Возьмем из уравнении (7.68) и (7.73) по три первых уравнения, тогда

Из первых трех уравнений этой системы имеем

тогда три последних уравнения системы (7.74) примут вид

При относительных размерах корни будут

Для разбираемого примера из (7.72) имеем Значения величины

для точек окружности и величины

для точек окружности соответственно равны: . Эти величины свидетельствуют о приемлемом выполнении граничных условий, следовательно, решение вполне эффективное.

Рис. 37

На основании формулы (7.50) вычислены значения касательных напряжений, действующих в точках оси построена их эпюра (рис. 37), Как видно из эпюры, возмущение, внесенное отверстием, носит местный характер.

Определим теперь жесткость. Учитывая, что на соответственно имеем из формулы (7.51) получим

При помощи формулы (7.69) и теоремы Коши окончательно получим

Для рассматриваемого примера тогда

Здесь — заданный крутящий момент.