§ 29. Интеграл энергии для уравнений движения упругого тела

Предположим, что на тело действуют поверхностная сила и объемная сила Определим работу этих сил от начального момента соответствующего естественному состоянию покоя, до рассматриваемого момента времени Перемещение точек тела за время будет Обозначим работу внешних сил за время через Тогда

Подставляя и преобразуя поверхностный интеграл в объемный, получим

Исходя из уравнений движения, найдем

Здесь первое слагаемое представляет собой производную кинетической энергии тела по времени. Действительно,

Вследствие симметрии тензора напряжений

Если процесс упругого деформирования ндет адиабатически или изотермически, то в силу (4.19) будем иметь

Следовательно,

Интегрируя последнее соотношение в пределах от до и учитывая, что в начальный момент времени тело находилось в

естественном состоянии покоя, найдем

где работа, которая должна быть затрачена внешними силами для того, чтобы возникла деформация. Эта работа равна потенциальной энергии упругой деформации; А является потенциальной энергией упругой деформации, отнесенной к единице объема. Формула (4.57) верна не только для изотермического и адиабатического процессов, только А при этом не является потенциалом.

Если тело линейно-упругое и изотропное, то А определяется по формуле (4.36). Таким образом, работа внешних сил расходуется на возникновение кинетической энергии тела и потенциальной энергии деформации. Формула (4.57) представляет закон сохранения механической энергии.

Если под действием внешних сил тело из естественного состояния покоя перейдет в новое, деформированное состояние покоя, то кинетическая энергия будет равна нулю и формула (4.57) примет вид