§ 61. Кручение полых призматических тел

Пусть призматическое тело ограничено несколькими цилиндрическими поверхностями, оси которых параллельны. Любое поперечное сечение такого бруса представляет собою многосвязную область. В этом случае граничные условия примут вид

где постоянные, принимающие определенные значения на каждом из контуров совокупность которых образует контур сечения.

Функция кручения должна быть однозначной; в противном случае перемещение было бы многозначным (нас интересуют однозначные перемещения). При этом функция сопряженная с однозначной гармонической функцией, определяемая из условий Коши — Римана (7.10), может быть, вообще говоря, многозначной; в нашем случае этого не должно быть, ибо функция возвращается к первоначальному значению при обходе по любому из контуров что видно из граничного условия для нее. Исходя из этого постоянные не могут быть фиксированы произвольным образом. Действительно, если фиксировать их произвольно, а затем определять функцию (для этого следует решить задачу Дирихле, которая, как известно, всегда имеет единственное решение), то функция найденная из условий Коши — Римана с помощью функции может оказаться многозначной.

В данном случае, на основании (7.16), функция должна быть постоянной на всех контурах, ограничивающих сечение. Таким образом, граничное условие для функции на контуре имеет вид

Как мы видели, в формулы для деформаций, напряжений и перемещений входят частные производные функции Поэтому достаточно определить функцию с точностью до произвольной постоянной. Это обстоятельство дает возможность положить одну из постоянных равной нулю.

Покажем, что тангенциальные напряжения на торцах призматического тела удовлетворяют условиям

(в противном случае, помимо приложенного крутящего момента, на торцах имелись бы изгибающие призматическое тело поперечные силы).

Учитывая в интегралах (7.21) формулы (7,14) и преобразуя их в интегралы по контуру получим

Эти интегралы можно записать в виде

С учетом (7.20) будем иметь

поскольку

то и что и требовалось доказать.

На основании формул (7.14) и рис. 28 имеем

Преобразуя первый интеграл в контурный, будем иметь

или, учитывая, что окончательно получим

Преобразуем контурные интегралы в поверхностные, при этом, учитывая, что обход по внешнему контуру сечения должен выполняться против часовой стрелки, а по всем внутренним контурам — по часовой стрелке, формулу (7.25) представим в виде

где площадь, ограниченная контуром случае односвязной области получим формулу (7.19).