§ 22. Определение перемещений по компонентам тензора малой деформации

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что заданные однозначные функции имеющие непрерывные частные производные второго порядка.

Если по данным компонентам тензора деформаций найдены перемещения то, присоединяя к ним произвольное бесконечно малое перемещение тела как жесткого целого, получим новые перемещения, очевидно, также соответствующие данным компонентам тензора деформаций, так как перемещение тела как жесткого целого никакого влияния на чистую деформацию не оказывает. В силу этого для определенности дополнительно можно, например, задаться проекциями вектора перемещения некоторой точки тела и компонентами тензора вращения в этой точке.

Область задания компонентов тензора деформаций, при помощи которых в этой же области, занятой до деформации телом, ищутся проекции вектора перемещения, обозначим через При этом пока будем полагать, что эта область односвязна. Из (3.26)

и (3.27) имеем

Пусть в точке заданы компоненты перемещения и компоненты тензора вращения Из (3.41) компоненты перемещения в точке будут

Здесь интегрирование ведется по произвольной кривой, соединяющей точки и и целиком лежащей в области есть текущие координаты точки этой кривой; следовательно,

Подставим последнее соотношение в (3.42); тогда

Интегрируя последний интеграл по частям, получим

Здесь суммирование ведется также по индексу На основании (3.27)

Учитывая (3.26), найдем

Подставив это в последний интеграл (3.43), окончательно получим

По своему физическому смыслу не должны зависеть от пути интегрирования для этого в случае односвязной области необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение представляло полный дифференциал во всех точках и для всех значений области Эти условия приводят к следующим соотношениям:

где

Таким образом, соотношения (3.45) обеспечивают совместность шести дифференциальных уравнений (3.26) для определения трех функций Эти уравнения совпадают с условиями совместности Сен-Венана, поэтому условия Сен-Венана также обеспечивают интегрируемость шести дифференциальных уравнений (3.26). С учетом условий Сен-Венана формулы (3.44) определяют на независимо от формы кривой интегрирования, лежащей целиком в области

Если тело многосвязно, то интеграл в формуле (3.44) может, вообще говоря, получить конечные приращения, в силу чего не обеспечивается однозначность перемещений, тогда как они должны быть однозначными. Многосвязное тело с помощью надлежащих мысленных разрезов можно обратить в односвязное, тогда при соблюдении условий совместности деформаций Сен-Венана перемещения определяемые (3.44), будут однозначными функциями, если кривая интегрирования нигде не пересекает линий разрезов. При приближении точки к какой-либо точке линии разреза с левого или правого берега будут принимать, вообще говоря, различные значения. Отсюда становится ясно, что в случае многосвязной области для обеспечения совместности деформаций дополнительными условиями будут вдоль всех линий разрезов.

Наиболее общее тензорное изложение теории напряжений и деформаций для произвольной системы, координат представляет особую ценность для конечных деформаций. Выведенные общие уравнения и формулы позволяют нам в дальнейшем составлять их в необходимых координатных системах.

В дальнейшем будем пользоваться, главным образом, декартовой прямоугольной системой координат.