§ 2. Сложение, умножение и свертывание тензоров. Признак тензора

а) Сложение. Операция сложения применима только к тензорам, имеющим одинаковое количество нижних и верхних индексов (т. е. к тензорам одного и того же ранга и типа). Если нам даны два тензора одного и того же ранга и типа, то, алгебраически суммируя каждый компонент первого тензора и соответствующий компонент второго, мы, очевидно, получим тензор того же ранга и типа, что и слагаемые. Указанная операция называется сложением, а полученный результирующий тензор называется суммой двух тензоров.

б) Умножение. Определим произведение двух тензоров любого ранга и типа. Перемножив каждый компонент первого тензора на каждый компонент второго тензора, получим тензор, ранг которого равен сумме рангов двух тензоров. Указанная операция называется умножением, а полученный результирующий тензор — произведением двух тензоров. Для определенности предположим, что речь идет об умножении контравариантного тензора второго ранга на тензор третьего ранга -один раз контравариантный, два раза ковариантныи). Тогда получим тензор компоненты которого определяются формулами

Это тензор пятого ранга (три раза контравариантный, два раза ковариантныи).

Операции сложения и умножения могут быть распространены на любое число тензоров.

в) Свертывание (сокращение индексов). Операция свертывания применима только к смешанным тензорам; поясним это на ряде примеров. Возьмем, например, тензор четвертого ранга в состав которого входят один контравариантный и три ковариантных индекса. Если мы теперь примем получим тензор в котором индекс является повторяющимся; в соответствии с нашим условием производим суммирование от до . В результате получаем ковариантныи тензор второго ранга, т. е. тензор, ранг которого на две единицы ниже ранга исходного тензора. Операция свертывания в данном примере, очевидно, больше не может быть повторена.

Возьмем теперь тензор пятого ранга и произведем свертывание относительно любой пары индексов, один из которых является верхним, а другой — нижним. Если мы, например,

положим то получим тензор третьего ранга Свертывание может быть продолжено еще один раз; взяв, например, получим ковариантный вектор Из тензора пятого ранга после двукратного сокращения индексов, получим контравариантный вектор Ьсли в тензоре четвертого ранга произвести два раза свертывание, мы получим скаляр (инвариант) или . В случае аффинных ортогональных тензоров операция свертывания может быть произведена по любым двум индексам., так как между контравариантным и ковариантным аффинными ортогональными тензорами нет никакой разницы.

Произведя свертывание аффинного ортогонального тензора по индексам получим инвариант

Комбинация операций умноження свертывания называется скалярным (внутренним) умножением. Операция скалярного умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу одного тензора и нижнему индексу другого. Пусть нам даны два тензора и свертывая четырьмя способами их тензорное произведение, получим скалярное произведение, а именно: Скалярное произведение контравариантного вектора и ковариантного вектора дает инвариант который можно, очевидно, назвать скалярным произведением векторов . В случае аффннных ортогональных векторов см и получим скалярное произведение этих векторов

г) Признак тензора. Пусть дан какой-либо тензор, например, Приведем в соответствие с ковариантными индексами этого тензора произвольные контравариантные векторы а с контравариантным индексом — ковариантный вектор Если произведение представляющее собою тензор шестого ранга, свернуть по индексам и то получим инвариант

Далее, пусть нам даны два тензора и Если произведение Акщп, представляющее собою тензор пятого ранга, свернем по индексам и то будем иметь контравариантный вектор

Таким образом, операция умножения тензоров дает снова тензор. Теперь ставится вопрос — будет ли некоторая система величин тензором, если ее произведение на тензор дает тензор. На этот счет существует теорема, позволяющая легко установить тензорный

характер данной системы величин. теорему сформулируем следующим образом:

1) если при любом выборе векторов произведение (1.23) представляет инвариант, то есть тензор,

2) если при любом выборе тензора произведение (1.24) представляет контравариаитный вектор, то есть тензор;

3) если величины обладают свойством симметрии и произведение Атпитип представляет инвариант для любого вектора то есть тензор.

Для доказательства теоремы вида 1 необходимо убедиться в том, что компоненты А, удовлетворяют определению тензора.

Согласно условию теоремы для двух систем координат имеем или на основании (1.23)

Меняя в формулах (1.5) и (1.7) роли координат в системе получим

Подставляя эти соотношения в последнюю формулу, будем иметь

Отсюда

Так как по условию контраварнантные векторы и ковариантный вектор являются произвольными, то

Следовательно, есть тензор.

Для доказательства теоремы вида 2 соотношение (1.24) скалярно умножим на произвольный коварнантный вектор тогда

где инвариант.

Следовательно,

Меняя в формулах (1.10) и (1.7) роли координат в системе получим

Таким образом,

Отсюда в виду произвольности тензоров

что и требовалось доказать.

Для доказательства теоремы вида 3 контравариантный вектор представим в виде Тогда

Так как по условию теоремы и инварианты и в силу симметричности величин имеем то инвариант. Тогда учитывая, что и произвольные векторы, в силу теоремы вида 1 заключаем, что является ковариантным тензором второго ранга.