Глава VIII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В настоящей главе мы остановимся на некоторых принципах теории упругости, имеющих важное значение для получения группы методов весьма эффективного численного решения граничных задач теории упругости. С одной из общих теорем теории упругости — теоремой Клапейрона мы познакомились в четвертой главе.
§ 69. Теорема взаимности Бетти
Обозначим через 
соответственно компоненты тензора напряжений, вектора перемещения и тензора деформаций, которые возникают в упругом теле под действием внешних сил 
Работа сил 
включая и силы инерции 
на перемещениях 
равна
Внося в последнее выражение 
и учитывая симметричность тензора напряжений, после преобразования поверхностного интеграла в объемный будем иметь
В силу (2.24)
Работа сил 
на перемещениях 
равна
Выполнив для 
преобразования, аналогичные преобразованиям для 
получим
В силу тождества Бетти (4.61) из (8.1) и (8.2) получим
Это и есть теорема взаимности Бетти. Из нее следует, что работа первой системы внешних сил на перемещениях упругого тела, вызванных второй системой внешних сил, равна работе второй системы внешних сил на перемещениях того же тела, вызванных первой системой сил.
