§ 60. Некоторые свойства касательных напряжений

Покажем, теперь, что вектор касательного напряжения в произвольной точке поперечного сечения призматического тела направлен по касательной к кривой проходящей через точку Действительно, вдоль кривой имеем

Учитывая здесь формулы (6.27) и (7.14), находим

откуда

На основании доказанного кривые называют траекториями или линиями касательных напряжений. Так как на контуре поперечного сечения то он является траекторией касательных напряжений.

Легко доказать, что как так и являются гармоническими функциями в поперечном сечении. В самом деле, действуя гармоническим оператором на обе части формул (7.14) и допуская законность перестановки дифференциальных операторов, с учетом (7,15) будем иметь

Отсюда вытекает, что достигают наибольших значений на контуре поперечного сечения призматического тела.

Докажем, что вектор касательного напряжения также достигает своего наибольшего значения на контуре; для этого отправимся от противного: допустим, что вектор касательного напряжения достигает наибольшего значения внутри контура поперечного сечения в точке Выберем в поперечном сечении новую прямоугольную декартову систему координат и одну из ее осей, например ось направим параллельно вектору приложенному в точке . В этой системе координат в точке будем иметь тензор напряжений с компонентами причем они относительно новой системы координат являются также гармоническими. В силу этого достигает своего наибольшего значения на контуре, а не внутри контура, как это было допущено в начале рассуждения.

Следовательно, вектор касательного напряжения достигает своего максимального значения на контуре поперечного сечения призматического тела.