§ 60. Некоторые свойства касательных напряжений
Покажем, теперь, что вектор касательного напряжения 
в произвольной точке 
поперечного сечения призматического тела направлен по касательной к кривой 
проходящей через точку 
Действительно, вдоль кривой 
имеем
Учитывая здесь формулы (6.27) и (7.14), находим
откуда 
На основании доказанного кривые 
называют траекториями или линиями касательных напряжений. Так как на контуре поперечного сечения 
то он является траекторией касательных напряжений.
Легко доказать, что как 
так и 
являются гармоническими функциями в поперечном сечении. В самом деле, действуя гармоническим оператором 
на обе части формул (7.14) и допуская законность перестановки дифференциальных операторов, с учетом (7,15) будем иметь
Отсюда вытекает, что 
достигают наибольших значений на контуре поперечного сечения призматического тела.
Докажем, что вектор касательного напряжения также достигает своего наибольшего значения на контуре; для этого отправимся от противного: допустим, что вектор касательного напряжения достигает наибольшего значения внутри контура поперечного сечения в точке 
Выберем в поперечном сечении новую прямоугольную декартову систему координат 
и одну из ее осей, например ось 
направим параллельно вектору 
приложенному в точке 
. В этой системе координат в точке 
будем иметь тензор напряжений с компонентами 
причем они относительно новой системы координат являются также гармоническими. В силу этого 
достигает своего наибольшего значения на контуре, а не внутри контура, как это было допущено в начале рассуждения.
Следовательно, вектор касательного напряжения достигает своего максимального значения на контуре поперечного сечения призматического тела.
