§ 6. Тензор Римана — Кристоффеля. Производная вектора. Формула Гаусса — Остроградского, e-тензор

Теперь перейдем к определению новых тензоров при помощи дифференцирования данных векторов и тензоров. Пусть данная скалярная функция, зависящая от координат точки Тогда в новых координатах связанных с формулами (1.1), имеем Учитывая последнее, а также принимая во внимание (1.1), будем иметь

Таким образом, производная скалярной функции по координатам дает ковариантныи вектор к

Рассмотрим параллельное векторное поле произвольного контравариантного вектора вдоль некоторой кривой и ковариантный вектор определенный на той же кривой. В любой точке взятой кривой произведение является скалярной функцией параметра и поэтому также скаляр. В правой части равенства

вместо из (1.70) подставим величину тогда

или

Учитывая, произвольный контравариантный вектор параллельного векторного поля и что произведение такого вектора на выражение внутри скобок в правой части (1.74) является скаляром, на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что

является ковариантным вектором.

Ковариантный вектор (1.75) называется абсолютной производной ковариантного вектора по параметру и обозначается через следовательно,

Положим, что в какой-либо координатной системе удовлетворяется уравнение

тогда оно удовлетворяется и в любой другой системе. В случае декартовой системы координат уравнение (1.77) примет вид

Отсюда следует, что вектор также есть параллельное векторное поле вдоль рассматриваемой кривой. Таким образом, (1.77) есть уравнения, которым удовлетворяет параллельное ковариантное векторное поле вдоль данной кривой.

Рассмотрим параллельное векторное поле произвольного ковариантного вектора вдоль некоторой заданной кривой и контравариантный вектор определенный на той же кривой. Поступая так же, как при выводе формулы (1.76), и учитывая, что параллельное векторное поле должно удовлетворять (1.77), получим абсолютную производную контравариантного вектора по параметру

Пусть есть поле контравариантных векторов, определяемое в некотором пространстве. Возьмем какую-либо произвольную кривую, проходящую через любую фиксированную точку этого пространства; тогда из (1.78) с учетом

найдем

Так как является произвольным контравариантным вектором и есть контравариантный вектор, то на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что выражение в круглых скобках представляет собой смешанный тензор второго ранга. Этот тензор называется ковариантной производной вектора и обозначается через здесь запятая перед индексом указывает на дифференцирование по Следовательно,

Аналогичным образом получим ковариантный тензор второго ранга

Этот тензор называется ковариантной производной вектора

Распространим эти результаты на тензора. Рассмотрим произвольные параллельные векторные поля определенные вдоль некоторой кривой. Пусть есть тензор второго ранга, определенный вдоль той же кривой. В каждой точке этой кривой дает скаляр, поэтому его производная по есть также скаляр

Исключив при помощи (1.70) производные векторов, получим

Следовательно, на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что в правой части выражение в скобках есть тензор того же типа и ранга, что и Его называют абсолютной производной тензора и обозначают через Тогда

Рассмотрим тензорное поле в некотором пространстве. Если в нем возьмем какую-нибудь кривую, проходящую через любую

точку этого пространства, то выражение (1.81) вдоль этой кривой будет тензором.

Учитывая, что

формуле (1.81) придадим вид

Принимая во внимание, что (1.82) представляет собой тензор и есть произвольный контравариантный вектор, на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что выражение в скобках есть тензор, имеющий на один ковариантный индекс больше, чем этот тензор называется ковариантной производной тензора и обозначается через Здесь запятая указывает на дифференцирование по следовательно,

Указанным способом можно вычислить абсолютную и ковариантную производные тензора любого типа и сколь угодно высокого ранга. Так, например, если тензор задан контравариантными компонентами то

Вычислим вторую ковариантную производную ковариантного вектора т. е. с помощью формулы (1.83) определим ковариантную производную тензора

Переставим в этой формуле индексы и вычтем одно выражение из другого. Пользуясь свойством симметрии символов Кристоффеля, будем иметь

где

В (1.85) левая часть является тензором и есть произвольный ковариантный вектор; на основании теоремы о признаке тензора

заключаем, что является также тензором. Тензор который носит название тензора Римана — Кристоффеля, составлен только из ковариантного метрического тензора и его производных до второго порядка включительно.

Опустим в (1.85) индекс тогда

где

отсюда

Учитывая, что

найдем

Введем под знаки производных в последнем равенстве выражения и учтем формулу Тогда

Из последних формул непосредственно вытекают следующие свойства:

Равенства, находящиеся в первых двух строках, выражают антисимметричность тензора относительно каждой пары индексов Учитывая свойства (1.88), после подсчета получаем, что из 81 компонента тензора Римана — Кристоффеля остается только шесть независимых компонентов Известно, что во все евклидово пространство можно ввести декартову систему координат. Так как в последней компоненты метрического тензора постоянны, а следовательно, символы

Кристоффеля обращаются в нуль, то из формул (1.87) имеем

Таким образом, условия (1.89) являются необходимыми условиями евклидовости пространства.

Можно показать и обратное. Если тензор Римана — Кристоффеля во всех точках пространства обращается в нуль, то в этом пространстве можно выбрать такие координаты чтобы квадратичная форма приняла вид с постоянными коэффициентами. Постоянство этих коэффициентов указывает на евклидовость пространства. Следовательно, равенство нулю тензора Римана — Кристоффеля является достаточным условием того, чтобы пространство было евклидовым.

Выше было показано, что в трехмерном пространстве тензор Римана — Кристоффеля имеет только шесть независимых компонентов. Следовательно, условия (1.89) могут быть заменены шестью независимыми условиями вида

Таким образом, условия (1.90) являются необходимыми и достаточными условиями евклидовости пространства.

Выведем формулу Гаусса — Остроградского в криволинейной системе координат.

Формула преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности в прямоугольной системе координат — формула Гаусса — Остроградского, как хорошо известно, имеет вид

где замкнутая поверхность, ограничивающая объем направляющие косинусы внешней нормали к поверхности

Возьмем теперь криволинейную систему координат и пусть обозначает контравариаитный вектор, определяющий в системе координат вектор Учитывая, что величина является скаляром, будем иметь

Обозначим через ковариантные компоненты единичного вектора внешней нормали, составляющие которого в системе координат равны

С другой стороны,

Следовательно, из (1.91), с учетом (1.92) и (1.93), получим

В заключение рассмотрим тензор. Пусть составляющие объекта изменяются по знаку, но не по абсолютному значению, при перемене мест двух индексов. При этом, очевидно, составляющие символа могут иметь следующие значения: 0, когда любые два индекса равны; когда является четной перестановкой чисел 1, 2, 3, и —1, когда является нечетной перестановкой чисел 1, 2, 3.

Рассмотрим определитель Здесь верхний индекс означает строку, а нижний — столбец. Если определитель развернуть по столбцам, то он будет равен

Здесь суммирование производится по индексам которые образуют перестановки чисел 1, 2, 3, а знак плюс или минус ставится в соответствии с четностью или нечетностью перестановки этих чисел. На основании определения символов,

Рассмотрим сумму

Учитывая, что индексы являются индексами суммирования, будем иметь

Таким образом, перестановка индексов приводит к перемене знака. Это остается в силе и для других индексов. Следовательно, рассматриваемая сумма антисимметрична относительно индексов т. е.

Если в формуле (1.95) положить учесть, что якобиан то получим

Введем новую координатную систему и составим выражение Тогда на основании формулы (1.96) получим

или после сокращения на будем иметь

Отсюда на основании определения тензора величины представляют тензор, его обозначают через

Введем теперь три некомпланарных вектора Из определения смешанного произведения следует