§ 40. Плоское напряженное состояние

Напряженное состояние пластинки называется плоским, если вектор напряжения на площадках, параллельных основаниям, равен нулю по всему ее объему.

Примем среднюю плоскость пластинки толщиной за координатную плоскость (рис. 16). В силу определения

поэтому система дифференциальных уравнении (2.25) принимает вид (6.5).

Так как для изотропного тела будем иметь

Внеся отсюда значение через в остальные формулы закона Гука, получим соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформаций в виде

где

Как видно, формулы (6.13) получаются из первых трех формул (6.3) путем замены коэффициента Ляме на коэффициент

Подставив (6.14) в уравнения (5.6), получим

Здесь

Эти уравнения отличаются от уравнения (6.6) только заменой коэффициента на коэффициент и являются трехмерными.

Таким образом, несмотря на значительное упрощение основных уравнений задачи о плоском напряженном состоянии, эта задача остается трехмерной, поскольку координата не исключена из приведенных выше уравнений.

Однако Файлоном для случая, когда толщина пластинки достаточно мала, дана идея, позволяющая привести указанную задачу к двумерной. Она заключается в том, что вычисление значений средних величин вектора перемещения и тензора напряжений в тонкой пластинке достаточно точно определяет решение задачи о плоском напряженном состоянии;

Рис. 16

последнее, следуя Ляву, называют «обобщенным плоским напряженным состоянием».