Главная > Теория упругости (Амензаде Ю.А.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 71. Принцип минимума дополнительной работы — принцип Кастильяно

Рассмотрим теперь равновесие, при котором заданы перемещения и соответствующий тензор напряжений При переходе от истинного напряженного состояния к смежному изменение удельной работы деформации будет

Измененный тензор напряжений так же, как истинный тензор напряжений должен удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, т. е.

откуда следует

Разложив выражение удельной работы деформации в ряд Тейлора, получим

Второй член правой части второго равенства (8.19), как это было и в (8.9), представляет собой удельную работу деформации, соответствующую вариации тензора напряжений и всегда положительно-определен.

Пользуясь формулами (4.27), приведем первый член правой части второго равенства (8.19) к виду

или

В свою очередь, аналогично (8.13), имеем

Учитывая (8.18) в (8.20), получим

Следовательно, из (8.19) будем иметь

Если в подынтегральном выражении второго интеграла учесть (4.27) и формулы закона Гука (4.50), мы получим работу деформации, выраженную через вариации тензора напряжений

Применяя к первому слагаемому формулу Гаусса — Остроградского и обозначая второй интеграл через будем иметь

Наложим на измененный тензор напряжений условие, чтобы он был уравновешен заданными поверхностными силами. Тогда на тех частях поверхности, на которых заданы силы, Исходя из этого, (8.21) примет вид

Здесь сумма тех частей поверхности, на которых заданы перемещения. Учитывая, что на перемещения не варьируются, последней формуле придадим вид

где

Здесь работа поверхностных сил на заданных на перемещениях; называется дополнительной работой.

Принимая во внимание, что всегда положительно-определенная величина, приходим к выводу, что принимает минимальное значение.

Равенство (8.22) позволяет сформулировать следующую теорему: дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле.

1
Оглавление
email@scask.ru