§ 67. Центр изгиба

По формулам закона Гука (4.50) компоненты тензора деформаций, соответствующие компонентам тензора напряжений (7.75), (7,76) и (7.85), равны

На основании формул (3.27) угол поворота элемента тела аокруг оси будет

В силу этой формулы и формул (3.26) найдем

Аналогичным образом можно вывести подобные формулы для частных производных по координатам от остальных углов поворота и юг. Величина представляет собой кручение волокон призматического тела, параллельных оси

Среднее значение кручения для всего поперечного сечения, обозначаемое через определяется формулой

Таким образом, выясняется, что под действием поперечной силы, приложенной к свободному концу призматического тела, изгиб сопровождается кручением. Как видно из формулы (7.100), чтобы под действием упомянутой силы призматическое тело испытывало только изгиб без участия кручения, постоянную С следует определить формулой

Подставляя (7.101) в формулу (7.96), для крутящего момента будем иметь

Чтобы изгиб тела не сопровождался кручением, необходимо, кроме силы действующей в точке о поперечного сечения, приложить к этому сечению еще крутящий момент вычисляемый по формуле (7.102), Сложив силу и крутящий момент получим силу равную заданной силе, направленную параллельно ей и находящуюся на расстоянии которое определяется по формуле

Допустим теперь, что поперечная сила приложенная в начале координат, направлена вдоль оси Рассуждая аналогичным образом, получим силу равную заданной, направленную параллельно ей и находящуюся на расстоянии которое определяется по формуле

В формуле (7.104) функция удовлетворяет уравнению

и граничному условию

В этих формулах

Точка пересечения прямых называется центром изгиба.

Любая поперечная сила, приложенная к сечению свободного конца, проходящая через центр изгиба, вызывает изгиб без участия кручения. Чтобы определить положение центра изгиба, совершенно не обязательно решать задачу об изгибе призматического тела, достаточно решить задачу о его кручении. Следуя Новожилову, покажем, что выражения, входящие в (7.104) и (7.103), могут быть вычислены с помощью функции Для доказательства применим известную формулу Грина для функций ; в качестве контура интегрирования возьмем контур поперечного сечения тела

Учитывая первые уравнения (7,90), (7.91) и условие (7.92), вместо (7.108) будем иметь

основании соотношений (7.13), (7.10) имеем

Учитывая здесь формулы (6.27), найдем

Подставив (7.111) в правую часть (7.109) и интегрируя по частям, с учетом второго соотношения (7.91) получим

На основании формулы Гаусса — Остроградского имеем

или

Подставим в эту формулу из (7.110) значения тогда

Интегрируя третье слагаемое по частям и учитывая, что на контуре функция убедимся, что оно обращается в нуль. Следовательно,

Учитывая (7.112) и (7.113) в (7.109), а затем подставляя полученный результат в (7.103), окончательно получим формулу для координаты центра изгиба

Аналогичным образом из (7.104) получим формулу для другой координаты центра изгиба

Как видно, в формулы для определения центра изгиба призматического тела с односвязным сечением входят функции и связанные только с решением задачи о кручении тела. Следует отметить, что если известна одна из функций то другая определится путем квадратур из (7.110).

В работе выведены формулы для определения координат центра изгиба (1°, 2°) в случае многосвязной области

где:

комплексная функция кручения, — координаты центра тяжести площади, заключенной внутри контура координаты центра тяжести площади сечения, площадь, заключенная внутри контура константы, вводимые в (7.20). Постоянные определяются соответственно по формулам (7.80), (7.107).

Рассмотрим задачу об определении центра изгиба, когда сечение консоли представляет собою область, ограниченную извне окружностью радиуса а изнутри — окружностью радиуса (рис. 34). Приближенное выражение комплексной функции кручения для этой задачи определяется формулой (7.62).

Для принятой системы координат Для относительных размеров, указанных в задаче на основании вышеприведенных формул