§ 25. Потенциал тензора напряжений

По идее Томсона, к изучению процесса деформирования тела применимы первый и второй законы термодинамики. Предположим,

что процесс деформирования тела термодинамически обратим, тогда состояние тела однозначно определяется термодинамическими переменными.

Если суть внутренняя энергия, количество тепла, работа внешних сил и энтропия, соответственно отнесенные к единице объема тела, то в случае малых деформаций по первому и второму законам термодинамики имеем

Здесь соответственно приращения внутренней энергии и энтропии представляющие полные дифференциалы независимых: термодинамических переменных, определяющих состояние тела, абсолютная температура.

Исключая из (4.10) приращение тепла с учетом (4.9) получим основное термодинамическое соотношение для процесса деформирования тела

Определим упругое тело таким образом, чтобы задание тензора деформацией и одной термодинамической переменной (температуры или энтропии 5) полностью определяло его состояние, т. е. тензор напряжений и термодинамические потенциалы (последний носит название свободной энергии Гельмгольца).

В качестве независимых переменных, определяющих состояние упругого тела, выберем и температуру Тогда свободная энергия Гельмгольца будет функцией только и т. е.

Определив из

и подставив его в (4.11), найдем

С другой стороны, из (4.12) имеем

Сравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах в (4.14) и (4.15), получим

здесь

Первое соотношение (4.16) показывает, что потенциалом тензора напряжений для упругого тела при данном выборе независимой

термодинамической переменной является свободная энергия Гельмгольца. Если в качестве независимой термодинамической переменной выберем энтропию, т. е. предположим, что состояние упругого тела полностью определяется заданием тензора деформаций и энтропии тогда и поэтому

Из сравнения (4.11) и (4.17) получим

Первое соотношение (4.18) доказывает, что потенциалом тензора напряжений является внутренняя энергия.

В случае адиабатического процесса, т. е. когда из первого соотношения (4.10) следует, что является полным дифференциалом независимых переменных т. е.

С другой стороны, на основании (4.9)

откуда

Если совершается изотермический процесс то в силу второго соотношения (4.10) приращение тепла так же как и будет полным дифференциалом, так как известно, что приращение энтропии есть полный дифференциал. Следовательно, из первого соотношения (4.10) заключай, что является полным, дифференциалом. Тогда

Как видно из (4.19) и (4.20), в случае адиабатического и изотермического квазистатических процессов потенциалом служит работа внешних сил и она может быть определена из равенства

Если тело линейно-упругое, то согласно (4,6) величины линейны и однородны относительно компонентов тензора деформаций . Поэтому А будет однородным многочленом второй степени относительно Следовательно, по теореме Эйлера об однородных

функциях будем иметь

Это соотношение называется формулой Клапейрона.

Теперь в качестве независимых переменных, определяющих состояние упругого тела, возьмем тензор напряжений и температуру Введем новую функцию

которая зависит только от и тогда

С другой стороны, из (4.9), (4.11) и (4.22) имеем

Сравнение (4.23) и (4.24) приводит к выражениям

Таким образом, в случае, когда в качестве независимых переменных выбраны и функция (4.22) является потенциалом для тензора деформации упругого тела. Легко показать, что в независимых координатах и для адиабатического и изотермического процессов деформирования тела потенциалом тензора деформаций является функция

Формуле (4.9) придадим вид

Отсюда, учитывая, что при адиабатическом и изотермическом процессах деформирования есть полный дифференциал, будем иметь

Следовательно,

Итак, функция — А для адиабатического и изотермического процессов является потенциалом тензора деформаций.

Если тело линейно-упругое, то по формуле Клапейрона и на основании (4.26) потенциал тензора деформаций, называемый упругим потенциалом, будет равен А. Следовательно,

Эти соотношения называются формулами Кастильяно и справедливы для линейно-упругого тела при адиабатическом и изотермическом процессах.