§ 20. Главные относительные удлинения

Определим по аналогии с теорией напряженного состояния в декартовой прямоугольной системе координат главные направления

тензора деформаций, как такие направления, для которых выполняются условия

Здесь скаляр; направляющие косинусы единичного вектора

Используя символы Кронекера, систему уравнений (3.35) запишем в виде

Так как все косинусы одновременно не могут быть равны нулю, то

Главные значения тензора деформаций, которые называются главными относительными удлинениями, являются корнями кубического уравнения (3.37). Направления, соответствующие главным удлинениям взаимно перпендикулярны. Когда имеет место случай двух равных корней, тогда направления, соответствующие этим корням, лежат в плоскости, перпендикулярной направлению, соответствующему простому корню; в этом случае любые взаимно ортогональные направления, лежащие в этой плоскости, могут быть приняты за главные. Если все три корня равны, то любые перпендикулярные направления можно принять за главные.

Кубическое уравнение (3.37) запишем в форме

По свойству корней кубического уравнения соотношения между корнями и коэффициентами имеют вид

По аналогии с теорией напряженного состояния здесь являются инвариантами. Таким образом,

Первый инвариант тензора деформации в случае малых деформаций представляет собой относительное изменение объема. Действительно, возьмем в некоторой точке среды главные оси тензора деформаций. На них построим параллелепипед, имевший до деформации ребра, равные После деформации рассматриваемый параллелепипед, оставаясь прямоугольным, будет иметь ребра

Объем параллелепипеда до деформации после деформации

Отбрасывая малые величины высшего порядка, будем иметь

Обозначив изменение объема в точке отнесенное к единице объема, или относительную объемную деформацию через получим

Учитывая, что для относительной объемной деформации найдем

т. е. есть относительная объемная деформация в точке Если координатные оси совместить с главными направлениями тензора деформации, то в этой системе координат компоненты обратятся в нуль, останутся лишь действующие на этих площадках удлинения