§ 13. Уравнения движения и равновесия в цилиндрических и сферических координатах

Часто бывает удобно пользоваться уравнениями движения и равновесия в цилиндрической и сферической системах координат.

Рис. 8

Физические проекции силы ускорения в цилиндрической системе координат соответственно обозначим через а физические проекции тензора напряжений в той же системе координат — через (рис. 8).

На основании формул (1.49) и (1.50) с учетом того, что в цилиндрической системе координат компоненты ковариантного метрического тензора

имеем

В силу (1.84)

откуда, при с учетом (2.28), будем иметь

Используя (1.64), найдем

Тогда

Подставляя это равенство в лолучим первое уравнение движения

Аналогично выводятся два других уравнения движения

Физические проекции объемной силы и ускорения в сферической системе координат соответственно обозначим через а физические проекции тенчора напряжений в той же системе координат — через сгфф, (рис. 9). В этой системе координат Учитывая эти соотношения, из формул (1.49) и (1.50) найдем

Из (2.19), (1.64) и (1.84) получим уравнения движения

Если положить в уравнениях (2.30) и (2,31), то мы получим уравнения равновесия в компонентах тензора напряжений соответственно в цилиндрической и сферической системах координат.

Рис. 9