§ 46. Основные граничные задачи и приведение их к задачам теории функций комплексного переменного

Под основными граничными задачами плоской теории упругости, аналогично тому, как для трехмерного тела (§ 34), мы будем понимать следующие задачи:

Первая основная задача. Определение упругого равновесия, когда заданы внешние силы, приложенные к границе области 5.

Вторая основная задача. Определение упругого равновесия, когда заданы перемещения точек границы

Основная смешанная задача. Определение упругого равновесия, когда на одной части границы заданы приложенные к ней силы, а на другой — перемещения точек.

Если область 5 бесконечна, то в случае первой основной задачи должны быть заданы напряжения на бесконечности, т. е. и в случае же второй основной задачи и основной смешанной задачи — величины Допуская, что решение указанных задач существует, его единственность для конечной области можно доказать аналогично доказательству, приведенному в случае соответствующих пространственных задач; на доказательстве теоремы единственности для бесконечной области мы не останавливаемся; при надобности читатель сможет ознакомиться с ним в монографии Н. И. Мусхелишвили «Некоторые основные задачи математической теории упругости».

Из формул (6.67), (6.77), (6.78) видно, что решение плоской задачи теории упругости сводится к отысканию пары функций комплексного переменного аналитических в данной области 5, при этом на ее границе эти функции должны удовлетворять определенным условиям, отвечающим какой-либо из сформулированных задач.

Будем считать, что граница области не пересекает себя, замкнута и в каждой точке имеет касательную. Кроме того, примем, что компоненты вектора перемещения и тензора напряжений непрерывны вплоть до границы

1. Для первой основной задачи функции в случае конечной односвязной области ограниченной контуром должны на основании (6.74) удовлетворять краевому условию

Здесь аффикс точки и ее декартовы координаты, причем

где заданные значения проекций внешних сил, действующих на

Выражение слева в (6.109) дает граничное значение функции когда оставаясь внутри области стремится к точке контура Это граничное условие существует в силу принятого предположения о непрерывности компонентов тензора напряжений вплоть до контура (Следует отметить, что в формуле (6.74) дуга, обозначенная через А В, целиком лежит в области 5. Однако в силу предположения о непрерывности компонентов тензора напряжений вплоть до контура, мы вполне законно применили эту формулу для случая, когда дуга принадлежит контуру

2. Для второй основной задачи функции в случае той же конечной односвязной области 5, должны на основании

(6.67) удовлетворять на контуре соотношению

где — заданные значения перемещения точки

Здесь, так же как и выше, левая часть равенства (6.111) представляет собой граничное значение выражения

Это граничное значение существует, так как

а по условию, принятому нами выше, непрерывны вплоть до контура

3. Для первой основной задачи в случае бесконечной области ограниченной замкнутым контуром регулярные в ней функции на основании условия (6.109) с учетом формул (6.104) и (6.105), должны удовлетворять краевому соотношению

При этом введено обозначение

Когда точка описывает контур в положительном направлении, выражения получают соответственно приращения так что приращение выражения как легко убедиться, будет равно нулю. Поэтому функция является однозначной и непрерывной на

4. Для второй основной задачи в случае бесконечной же области ограниченной контуром для функций на основании формулы (6.111) с учетом формул (6.104) и (6.105) будем иметь краевое условие

где

Как видно из (6.115), правая часть равенства (6.114) представляет собой однозначную и непрерывную на функцию, поскольку таковыми являются все содержащиеся в ней члены.

5. В основной смешанной задаче будем иметь условия вида тех частях границы, где заданы проекции вектора напряжения, и условия вида (6.111) на остальных ее частях, где заданы проекции вектора перемещения.

Выше мы убедились, что условие непрерывности компонентов тензора напряжений вплоть до границы области 5 приводит к непрерывности вплоть до границы выражения

а условие непрерывности проекции вектора перемещения — к непрерывности вплоть до границы выражения

Очевидно, что выражение может быть непрерывным вплоть до границы без обязательного соблюдения условия непрерывности (вплоть до границы компонентов тензора напряжений. Поэтому последнее условие может быть заменено более слабым условием непрерывности вплоть до границы указанного выражения. дальнейшем будем считать, что для двух первых основных задач функции непрерывно продолжимы на все точки границы области это накладывает сильное условие на нскомые функции, но и значительно упрощает рассуждения при применении методов эффективного решения основных задач.

Условие непрерывности в случае первой основной задачи исключает разрывные внешние нагрузки, например сосредоточенные силы; для смешанной задачи функции в отдельности не будут непрерывными в точках стыка.