§ 55. Решение граничных задач для полуплоскости

Приводим некоторые обозначения. Пусть является некоторой функцией комплексного переменного определенной в некоторой области плоскости Тогда через будем обозначать функцию, принимающую сопряженные с значения в точках I, сопряженных с

или

где

Легко заметить, что если голоморфна в некоторой области то голоморфна в области представляющей собой область, симметричную области относительно действительной оси. В самом деле, положим, что голоморфна в тогда в области имеет место

Учитывая в условиях соотношения (6.183), в области будем иметь

Последние соотношения показывают, что функции удовлетворяют условиям в области

Пусть тело занимает нижнюю полуплоскость, ограниченную прямой, которую примем за ось абсцисс. Обозначим нижнюю полуплоскость остающуюся справа, если двигаться по оси в положительном направлении, через а верхнюю полуплоскость — через

Пусть функция определена в тогда функция будет определена в область и пусть существует граничное значение где аффикс некоторой точки оси тогда из формулы (6.182 непосредственно следует, что существует и граничное значение причем

или

Пусть в области определены комплексные потенциалы и имеются ненагруженные отрезки границы

Приведем формулы (6.77), (6.78) и (6.83) к удобному для применения виду; с этой целью построим аналитическое продолжение функции через ненагруженные отрезки границы. Из формул (6.77) и (6.78) в области имеем

где

Возьмем функцию

определяемую этим равенством в области

На основании вышесказанного ясно, что функция определяемая равенством (6.186), будет голоморфной в области

Напишем в вместо считая, что находится в и перейдем к сопряженным значениям, тогда

отсюда

формула (6.187) определяет функцию в области через функцию продолженную и на верхнюю полуплоскость.

На границе выражение (6.186) (при со стороны

области примет вид

Выражение (6.185) на границе имеет вид

поэтому на тех участках границы, где найдем

Сравнивая (6.188) и (6.190) и учитывая (6.184) [в силу определения получим

Следовательно, функция определенная с помощью (6.186) в верхней полуплоскости, является аналитическим продолжением через ненагруженные участки границы голоморфной в нижней полуплоскости функции иными словами, функция определяемая формулой (6.186), представляет кусочно-голоморфную функцию по всей плоскости, разрезанной вдоль нагруженных участков границы

Из равенства, сопряженного с выражением (6.189), на ненагруженных участках следует продолжимость через них функции Представим соотношение (6.185) в иной форме. Для этого подставим (6.187) в (6.78) и (6.185), получим удобные для применения формулы

Преобразуем теперь формулу (6.83). С этой целью продолжим голоморфную в области функцию в область так, чтобы в этой области

где дается правой частью (6.186). (Как выяснено, она при наличии ненагруженных участков аналитически продолжает сквозь них искомую функцию регулярную в нижней полуплоскости.) Учитывая формулу (6.186), последнему соотношению придадим вид

при этом в области будем иметь

Из этого уравнения вытекает, что в области справедливо соотношение

При помощи его формула (6.83) примет вид

В дальнейшем будем предполагать, что кроме, быть может, конечного числа точек функция на контуре непрерывна слева и справа и, кроме того,

для любой точки контура, тогда как вблизи точек справедливо неравенство

Эти условия обеспечивают непрерывную продолжимость тензора напряжений и вектора перемещения на все точки границы, кроме, быть может, точек

Будем считать, что при больших функции могут быть представлены следующим образом:

где — постоянны; символ О обозначает величину такую, что от и стремится к нулю при к этим условиям присоединим еще условия, что при больших имеют место выражения:

где

При этих соотношениях компоненты тензора напряжений на бесконечности равны нулю.

Пусть представляет собой главный вектор сил, приложенных к отрезку границы со стороны области Подставляя (6.198) в формулу (6.74), при удалении конца А влево, а конца В вправо независимо друг от друга, найдем

Здесь расстояния точек от начала координат и величина, стремящаяся к нулю при Для того чтобы главный вектор оставался конечным, когда

независимо друг от друга, следует принять

тогда

С другой стороны, должно иметь место соотношение

где — главный вектор внешних сил, приложенных ко всей границе (он будет всегда конечен, если силы приложены на конечном участке границы); следовательно,

Из двух линейных уравнений (6.199) и (6.200) имеем

1. Решение первой основной задачи. В этой задаче на контуре внешние силы задаются следующим образом:

где — соответственно давление и касательная сила, удовлетворяющие условию Гельдера на контуре включая окрестность бесконечно удаленной точки. Кроме того, Согласно (6.193) и (6.195) граничное условие примет вид

Из (6.202) видно, что решение первой основной задачи сведено к определению кусочно-голоморфной функции по заданному скачку. Решение этой задачи, исчезающее на бесконечности, согласно (6.149) будет

Зная функцию можно по формулам (6.192), (6.193) и (6.194) определить компоненты тензора напряжений и вектора перемещения

2. Решение второй основной задачи. Здесь значения компонентов вектора перемещения на контуре задаются в виде

где — заданные функции, имеющие производные, удовлетворяющие условию Гельдера, включая и бесконечно удаленную точку, и

Продифференцируем (6.194) по при этом граничное условие (6.204) примет вид

Введем кусочно-голоморфную функцию, обозначаемую через так, чтобы

Тогда граничное условие (6.205) примет вид

Из этого уравнения видно, что вторая основная задача также сведена к определению кусочно-голоморфной функции по заданному скачку; ее решение имеет вид

Таким образом, из (6.206) окончательно имеем

3. Решение основной смешанной задачи. Пусть на совокупности конечного числа отрезков границы заданы проекции вектора перемещения а на ее остальной части — проекции внешней силы Совокупность отрезков обозначим через V, остальную часть границы — через Поскольку нам уже известно решение первой основной задачи, то влияние заданных на сил удобнее учесть отдельно; в соответствии с этим мы всегда может предполагать, что на составляющие

Таким образом, краевые условия для рассматриваемой несколько видоизмененной смешанной задачи принимают вид

где — заданная на функция. Упомянутая задача связана с расчетом штампов.

Если в условии (6.208) величина является постоянной на тогда, не нарушая общности, ее можно положить равной нулю, ибо в этом случае значение с влияет только на жесткое поступательное перемещение всей системы. Здесь предпологается, что дополнительно задан главный вектор сил, приложенных к

Основная смешанная задача в такой постановке соответствует случаю жестко соединенных штампов.

В случае, когда какие-то постоянные), можно на не нарушая общности, произвольно зафиксировать только одну из них, остальные же постоянные подлежат определению. В этом случае, в отличие от предыдущего, предполагается, что заданы главные векторы сил, приложенных к каждому отрезку в отдельности. Такая формулировка задачи соответствует действию штампов, независимо совершающих вертикальные перемещения. Когда названные задачи совпадают. На основании (6.208) для обеих задач граничное условие (6.205) на примет вид

В силу (6.193), с учетом (6.195), граничное условие (6.209) на эквивалентно соотношению так что функция является голоморфной во всей плоскости, разрезанной вдоль Следовательно, решение основной смешанной задачи сведено к неоднородной задаче Римана.

Положим, что на V удовлетворяет условию Гельдера. Тогда решение задачи (6.210), не исчезающее на бесконечности, может быть представлено в виде

где -частное решение однородной задачи, соответствующей (6.210), голоморфное во всей плоскости, разрезанной вдоль оно равно

причем постоянная

Кроме того — некоторый полином.

В силу того, что голоморфная функция должна исчезать на бесконечности, полином не должен иметь степень выше поэтому

Коэффициенты Со, полинома определяются из дополнительных условий задачи. В случае, когда на отрезке в качестве таких условий принимается равенство главного вектора сил, приложенных к каждому отрезку заданным величинам.

Согласно (6.202) имеем

где аффикс точки . В этом соотношении, учитывая (6.210), будем иметь на

Применяя к правой части (6.211) формулу Сохоцкого — Племеля, найдем

Внеся отсюда значение в условие (6.212), получим

Подставляя в очевидное соотношение

значение подынтегральной функции из предшествующего равенства, придем к системе линейных уравнений для постоянных ее однозначная разрешимость следует из единственности решения исходной смешанной задачи.

Для решения задачи, когда на вычислим значения на ненагруженной части границы Учитывая, что в этом случае функция продолжима ненагруженные отрезки границы V, согласно формулам получим

Здесь — аффикс точки

С другой стороны, на ненагруженных участках имеем очевидное соотношение

Учитывая в этом соотношении формулу (6.215), придем к системе линейных уравнений для

Дополнительное уравнение получим, используя заданную величину главного вектора сил, приложенных к На основании первых формул (6.197) и (6.201) имеем

с другой стороны, исходя из формулы (6.211), находим Следовательно,

Таким образом, остается лишь определить из упомянутой системы уравнений, однозначная разрешимость которой вытекает из единственности решения исходной задачи.

В случае, когда что соответствует прямолинейному основанию штампа, параллельному границе формулы (6.211), (6.213), (6.214) и (6.215), в силу обращения в них интегрального члена в нуль, значительно упрощаются.