§ 36. Принцип Сен-Венана (принцип смягчения граничных условий)

Рассматривая задачи об изгибе и кручении длинных призматических брусьев, Сен-Венан в 1855 г. опубликовал свой знаменитый принцип: «Способ приложения и распределения сил по концам призмы безразличен для эффектов, вызванных на остальной длине,

так что всегда возможно с достаточной степенью приближения заменить силы, которые были приложены, статически эквивалентными силами, имеющими тот же полный момент и ту же равнодействующую».

Спустя тридцать лет, в 1885 г. первая общая формулировка этого принципа была дана Буссинеском: «Уравновешенная система внешних сил, приложенная к упругому челу, когда все точки приложения сил этой системы лежат внутри данной сферы, производит деформации, пренебрежимо малые на расстояниях от сферы, достаточно больших по сравнению с ее радиусом».

Бусскнеск для доказательства принципа Сен-Венана рассмотрел полубесконечное тело, находящееся под действием сосредоточенных сил, перпендикулярных к его плоской границе. Небезынтересно заметить, что до сих пор строго общего доказательства принципа Сен-Венана не имеется.

Рис. 12

Рис. 13

Существующие в этом направлении попытки посвящены в основном оценке погрешности принципа Сен-Венана применительно к призматическим, а также к телам, все размеры которых являются величинами одного порядка. Вопрос об оценке погрешности этого принципа применительно к тонкостенным стержням и оболочкам, ввиду его большой сложности, разработан слабо.

При решении задач теории упругости часто обращаются к принципу Сен-Венана. Если при решении задачи граничные условия задаются точно согласно истинному распределению сил, то решение может оказаться весьма сложным. В силу принципа Сен-Венана можно, смягчив граничные условия, добиться такого решения, чтобы оно дало для большей части тела поле тензора напряжений, очень близкое к истинному. Определение тензора напряжений в месте приложения нагрузок составляет особые задачи теории упругости, называемые контактными задачами или задачами по исследованию местных напряжений. На рис. 12 показаны две статически эквивалентные системы сил: одна в виде сосредоточенной силы перпендикулярной к плоской границе полубесконечной пластинки, а другая — в виде равномерно распределенных на полуцилиндрической поверхности сил, равнодействующая которых равна силе и перпендикулярна к границе пластинки. В достаточно удаленных

от места приложения указанных сил точках тензор напряжений в обоих случаях практически одинаков. Области консольной балки, тензор напряжений в которых существенно зависит от способа приложения силы, на рис. 13 заштрихованы.

Эффективное решение указанных в § 34 граничных задач упругого равновесия в общем случае представляет большие трудности. Принцип Сен-Венана в этом отношении занимает особое место в теории упругости. Благодаря этому принципу в настоящее время мы располагаем решениями многочисленных задач теории упругости, ибо принцип Сен-Венана позволяет смягчить граничные условия: заданная система сил, приложенная к небольшой части упругого тела, заменяется другой, удобной для упрощения задачи, статически эквивалентной системой сил, приложенной к той же части поверхности тела.