§ 35. Основные задачи динамики упругого тела

В случае динамнкм упругого тела, как и в случае статики, для уравнений (5.4) также ставятся три основные задачи. В отличие от основных граничных задач статики упругого тела, в случае динамической нагрузки к граничным условиям следует присоединить еще и начальные условия, состоящие в задании проекции вектора перемещения и проекции вектора скорости точки тела в некоторый момент времени с которого начинается изучение задачи, т. е.

Таким образом, интегралы системы уравнений (5.4) должны удовлетворять не только граничным, но и начальным условиям (5.43), (5.44).

Как и в предыдущем параграфе, докажем теоремы единственности решений указанных здесь задач, не останавливаясь на доказательствах теорем существования.

Допуская, что эти задачи имеют два решения, рассмотрим их разность, являющуюся решением системы уравнений (5.4) при Для этого решения:

в случае первой задачи на поверхности тела вектор напряжения при

в случае второй задачи вектор перемещения точки поверхности тела при и, следовательно, на поверхности ;

в случае же третьей задачи на одной части поверхности при а на другой при следовательно, на этой части поверхности тела

Так как оба решения задачи должны удовлетворять одним и тем же начальным условиям, то для разности этих решений начальные условия будут однородными, т. е. в начальный момент времени имеет место

Из сказанного следует, что работа вычисленная для разности решений и при равна нулю. Учитывая это, из формулы (4.57) будем иметь

Так как кинетическая энергия тела К и энергия деформации суть положительные величины, то из (5.46) получим

и, следовательно,

Из условия следует, что вектор перемещения не зависит от времени; из условия следует, что деформация равна нулю. Следовательно, решение и может выражать только жесткое лере мещение тела. По условию в начальный момент следовательно, это жесткое перемещение должно быть равно нулю во всех точках тела и во все моменты времени. Таким образом, два решения совпадают полностью.