§ 11. Условия на поверхности

В предыдущем параграфе было указано, что необходимым и достаточным условием равновесия деформируемого тела является равенство нулю главного вектора и главного момента сил, приложенных к каждой части тел, которую можно мысленно из него выделить. Это должно остаться в силе и для частей тела, имеющих общую с поверхностью тела поверхность. Будем считать, что компоненты тензора напряжений непрерывны вплоть до границы.

Условия равновесия бесконечно малого тетраэдра (см, рис. 6), когда поверхность совпадает с поверхностью тела, дают связь между тензором напряжений и внешними силами. Эта связь имеет вид (2.13) или (2.14) с той лишь разницей, что в этих формулах будет внешней нормалью к поверхности тела в данной точке. Эти условия называются поверхностными или граничными условиями.

Таким образом, из необходимого и достаточного условия равенства нулю главного вектора и главного момента сил, приложенных к каждой части тела, включая части тела, имеющие общую поверхность с поверхностью тела, вытекает, что шесть компонентов тензора напряжений должны удовлетворять внутри тела трем дифференциальным уравнениям (2.19) в случае динамической нагрузки или (2.20) — в случае статической нагрузки и трем поверхностным условиям (2.14).

Следует отметить, что шесть компонентов тензора напряжений из системы трех дифференциальных уравнений определяются неоднозначно. Каждое решение из бесконечного множества решений этой системы, удовлетворяющее трем граничным условиям, соответствует некоторому статически возможному напряженному состоянию.

Следовательно, под действием приложенных внешних сил может возникнуть бесчисленное множество статически возможных напряженных состояний. Таким образом, задача о нахождении напряженного состояния в теле является статически неопределимой.

Ниже будет показано, каким образом из бесконечного числа статически возможных напряженных состояний будет выделено реальное напряженное состояние.