§ 82. Поверхностные волны Рэлея
Рассмотрим упругое полупространство. Начало координат поместим на его поверхности, ось 
направим вдоль границы, ось 
в глубь среды (рис. 44). Предполагается, что объемные силы отсутствуют. Будем искать решение уравнений (10.6) и (10.7), которое не зависит от 
(плоская деформация), во времени меняется по синусоидальному закону, затухает с глубиной, а на границе 
удовлетворяет условиям 
Тогда при 
Это — задача о свободных колебаниях полупространства.
Решение попытаемся найти в виде
Здесь 
заданная частота. Постоянные 
с (с — фазовая скорость), 
должны быть подобраны так, чтобы (10.13) удовлетворяло уравнениям (10.6), (10.7) и граничным условиям (10.12).
Подставляя (10.13) в (10.6) и (10.7), после простых преобразований получим
На основании решения (10.13) и формулы (10.2) найдем
Следовательно, вектор перемещения и находится в плоскостях, перпендикулярных к оси 
Перемещения на границе 
будут
Пользуясь формулами для перемещения и законом Гука, нетрудно получить выражения для компонентов тензора напряжений на границе
Рис. 45
Рис. 46
Чтобы удовлетворить граничным условиям (10.12), нужно положить
Относительно 
мы получили линейную однородную систему уравнений. Для того чтобы 
были отличны от нуля, необходимо приравнять к нулю определитель 
этой системы
или
где
Это уравнение определяет фазовую скорость с; важно подчеркнуть, что последняя не зависит от частоты 
а зависит лишь от отношения 
Покажем, что 
Действительно, полагая 
получим 
. С другой стороны, при 
имеем 
Отсюда следует, что уравнение (10.17) при любом значении 
имеет корень 
(рис. 45). Можно показать, что на отрезке 
других корней 
(корень 
соответствующий нулевому решению, в расчет не принимаем). В частности, при 
т. е.
Из (10.16) получаем
где 
произвольная постоянная. Тогда
Мы построили решение в комплексной форме, но поскольку уравнения и краевые условия задачи линейные, ее решением будет как действительная, так и мнимая часть получаемых выражений; например,
Так как коэффициенты 
[формулы (10.14)], характеризующие затухание с глубиной, растут с увеличением частоты 
то в силу (10.18) приходим к выводу, что чем волна длнннее, тем на большей глубине она ощущается.
При 
из (10.18) получаем
Отсюда следует, что точки поверхности движутся по эллипсам.
Рассмотренные выше волны были впервые изучены Рэлеем. Они наблюдаются вдали от источника возмущения. Поскольку энергия, которую 
волны несут, сконцентрирована у поверхности и рассеивается по поверхности, то ее рассеивание происходит медленнее, чем в волнах, где энергия рассеивается по объему возмущенной области. Поэтому при землетрясениях для наблюдателя, удаленного от эпицентра, наибольшую опасность представляют рэлеевские волны.
