§ 10. Уравнения движения и равновесия в компонентах тензора напряжений

Известно, что для составления уравнений движения абсолютно твердого тела необходимо и достаточно приравнять нулю главный вектор и главный момент действующих на него внешних сил и сил инерции.

Для того, чтобы составить уравнения движения деформируемого тела, необходимо и достаточно приравнять нулю главный вектор, главный момент сил и сил инерции, приложенных к каждой части тела, которую можно мысленно из него выделить.

Равенство нулю главного вектора, главного момента указанных сил налагает определенные условия (к нахождению которых мы переходим) на изменение компонентов тензора напряжений при переходе от одной точки тела к другой. В дальнейшем будем

предполагать, что компоненты тензора напряжений непрерывны и имеют непрерывные частные производные во всех точках тела. Мысленно вырежем внутри тела некоторый произвольный объем ограниченный достаточно гладкой поверхностью Главный вектор и главный момент объемных сил действующих на элемент объема выделенного из объема сил инерции приложенных к этому элементу в случае динамической нагрузки, и поверхностных сил действующих на элемент должны равняться нулю, т. е.

Так как компонент силы в направлении единичного вектора равен и компонент силы в том же направлении равен вместо (2.15) можно написать

Учитывая (2.14) и формулу Гаусса — Остроградского (1.94), поверхностному интегралу в (2.17) придадим вид

Подставив это в (2.17), получим

Отсюда в силу непрерывности подынтегральной функции, произвольности вектора и объема следует, что подынтегральная функция должна обращаться в нуль в каждой точке тела

Если тело находится в равновесии, то ускорение элемента будет равно нулю, и уравнение примет вид

Здесь ковариантная производная тензора напряжений суммирование производится по индексу от 1 до 3.

Уравнения (2.19) и (2.20), связывающие изменение компонентов тензора напряжений с массовыми силами в любой точке внутри

тела, соответственно называются уравнениями движения и уравнениями равновесия дефомнруемого тела в контра вариантной форме. Эти уравнения, в которые входят девять компонентов тензора напряжений, являются неоднородными уравнениями первого порядка в частных производных. В случае отсутствия массовых сил эти уравнения будут однородными.

Так как компонент момента в направлении единичного вектора равен компонент момента в том же направлении равен и радиус-вектор точки можно представить в видто с учетом формулы вместо (2.16) напишем

Принимая во внимание формулу (2.13) и формулу Гаусса — Остроградского (1.94), поверхностному интегралу в уравнении (2.20) придадим вид

Так как уравнение (2.20) запишем в виде

Так как поэтому

На основании формулы , произвольности объема и непрерывности подынтегральной функции имеем

Заметив, что последнему соотношению придадим вид

Развернув это выражение, будем иметь

Так как направление произвольно, заключаем, что

Таким образом, доказана симметричность тензора напряжений. Следовательно, тензор напряжений, характеризующий напряженное состояние в данной точке, определяется шестью независимыми компонентами.