§ 66. Изгиб призматического тела, закрепленного одним концом

Пусть призматическое тело длиной закреплено одним концом, а на свободном конце несет нагрузку, статически эквивалентную силе перпендикулярной к оси тела. Массовые силы и силы на боковой поверхности тела отсутствуют. Начало координат поместим в произвольной точке какого-либо сечения. При этом ось направим параллельно тела, а ось параллельно силе Сечение предполагается односвязным.

Рис. 38

Решение задачи дается в напряжениях полуобратным методе» Сен-Венана. Исходя из физических соображений, примем

компоненты же тензора напряжений должны быть определены. Ниже покажем, что коэффициенты однозначно определяются формой и размерами поперечного сечения тела и выбором системы координат.

Компоненты тензора напряжений и в сечении в данной задаче должны удовлетворять условиям равновесия

Подставим выражение (7.76) в условия (7.78); тогда для коэффициентов получим систему трех линейных уравнений

где моменты инерции и статические моменты площади поперечного сечения тела относительно осей площадь сечения.

Корни системы (7.79) будут

причем

На основании формул формуле для коэффициента придадим вид

Здесь координаты центра тяжести площади поперечного сечения.

Подставив (7,75) и (7.76) в дифференциальные уравнения равновесия, с учетом получим

Из (7.82) следует, что не зависят от координаты следовательно, они одинаково распределены во всех поперечных сечениях.

Уравнению (7.83) придадим вид

Из этого уравнения следует, что существует функция связанная с равенствами

Действительно, при подстановке (7.85) в равенство (7.84) последнее удовлетворяется тождественно.

Выведем условия, которым должна удовлетворять функция Для этого подчиним (7.75), (7.76) и (7.85) соотношениям

Бельтрами — Митчелла и граничному условию на боковой поверхности тела.

Из шести соотношений Бельтрами — Митчелла четыре соотношения удовлетворяются тождественно, а два соотношения приводят к уравнениям

откуда

Тогда

Здесь С — постоянная интегрирования, которая должна быть определена.

Условия отсутствия на боковой поверхности тела нагрузки в данном случае дают

Учитывая формулы (7,85), а также формулы (6.27), из (7.87) будем иметь граничное условие для функции на

Затем задачу (7.86), (7.88) заменим двумя задачами; для этого функцию представим следующим образом:

где и новые функции, подлежащие определению.

Подставляя последнее соотношение в (7.86) и (7.88), задачу (7.86), (7.88) разобьем на две следующие задачи:

Следовательно, функция представляет собой функцию напряжения Прандтля.

Таким образом, задача о поперечном изгибе призматического тела разбита на задачу (7.90) о его кручении и задачу

(7.91) об отыскании вспомогательной функции называемой функцией изгиба.

Для односвязных поперечных сечений граничные условия на приводятся к виду

Легко убедиться, что при полном обходе контура значение интеграла (7.93) равно нулю. Действительно, взяв интеграл (7.93) по замкнутому контуру поперечного сечения и применяя к нему формулу Гаусса — Остроградского, а также учитывая первое уравнение системы (7.79), получим

Аналогичным образом можно также убедиться, что при полном обходе контура значение интеграла (7.88) равно нулю. Это положение и равенство (7.94) в дальнейшем будут использованы.

Нетрудно проверить, что найденные компоненты тензора напряжений на конце тождественно удовлетворяют первым двум условиям (7.77). Действительно,

или

Применяя формулу Гаусса — Остроградского и учитывая условие (7.88), а также третье уравнение (7.79), получим

Аналогичным образом

Третье же условие (7.77) позволяет определить входящую в (7.89) постоянную С. Подставив в это условие, согласно (7.85), значения получим

или

Введем обозначение

тогда

Произведя интегрирование по частям, найдем

Учитывая в (7.95) формулы (7.88), (7.89), будем иметь

Из условия следует

где

Если в качестве координатных осей взять главные центральные оси, то Следовательно, из формул (7.80) получим . В этом случае вышеприведенные формулы заметно упрощаются.