ГЛАВА VI. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

При решении задач теории упругости для общего случая трехмерных тел встречаются большие математические затруднения; это обстоятельство вынуждает переходить к решешно более или менее широких классов частных задач, одним из которых является плоская задача теории упругости. В плоской задаче теории упругости рассматриваются три случая упругого равновесия тела» имеющих большое значение для практики: плоская деформация, плоское напряженное состояние и обобщенное плоское напряженное состояние.

§ 39. Плоская деформация

Деформация тел называется плоской, если вектор перемещения любой точки параллелен некоторой плоскости, называемой плоскостью деформации, и не зависит от расстояния рассматриваемой точки до этой плоскости.

Допустим, что тело имеет плоскую деформацию, параллельную тогда

Внося (6.1) в формулы (3.26), для компонентов тензора деформаций будем иметь

последние, вообще говоря, отличны от нуля и не зависят от а остальные

При этом объемная деформация равна

и также является функцией лишь координат

В этом случае формулы обобщенного закона Гука примут вид

Следовательно, при плоской деформации тензор напряжений,

в обшем случае, состоит из четырех отличных от нуля компонентов, зависящих от двух аргументов Благодаря наличию компонента обеспечивается состояние плоской деформации. Легко показать, что при плоской деформации тела число независимых компонентов тензора напряжений равно трем. В самом деле, складывая первые две формулы (6.3) и учитывая пятую формулу (6.3), получим

откуда с учетом формулы (4.41) имеем

В разбираемом случае дифференциальные уравнения равновесия (2.25) примут вид

Эти уравнения показывают, что массовая сила, приложенная к любой точке тела, должна быть параллельна плоскости деформации и не должна зависеть от координаты

Уравнения Ляме (5.6) также соответственно упрощаются, принимая вид

здесь двумерный оператор Лапласа.

Из условий совместности деформаций Сен-Венана, как легко видеть, остается следующее:

остальные же пять условий удовлетворяются тождественно.

Для изотропного однородного тела уравнение совместности (6.7) при отсутствии массовых сил на основании (6.3) и (6.5) примет вид

Действительно, из формул закона с учетом соотношения имеем

с другой стороны, из дифференциальных уравнений (6.5) при имеем

Подставим (6.9) в (6.7), с учетом (6.10) придем к уравнению (6.8), которое называется уравнением Леви.

Учитывая закон Гука в форме (6.9), условию совместности деформаций (6.7) придадим другой вид

Из определения плоской деформации вытекает, что она точно возникает в призматическом теле бесконечно большой длины с прямолинейной осью и притом повёрхностные и массовые силы должны лежать в плоскостях поперечных сечений и не должны зависеть от координаты вдоль оси тела. Когда призматическое тело имеет конечную длину, плоская деформация в нем реализуется не точно, причем чем длиннее тело, тем точнее реализуется плоская деформация при условии, что на его торцах приложены силы, распределенные по закону

Поскольку, согласно определению, условия на боковой поверхности призматического тела не зависят от координаты , граничные условия задаются на контуре одного из поперечных сечений или на нескольких контурах, если сечение многосвязное. Таким образом, система дифференциальных уравнений равновесия (6.5) и соотношения (6.3), наряду с контурными условиями, характеризуют более простые задачи статики упругого тела (§ 35); при этом здесь также различают три основные двумерные граничные задачи.

Для первой основной граничной задачи контурные условия, согласно (2.22), записываются в виде

Дифференциальные уравнения равновесия и уравнение Леви, а также контурные условия (6.12) при отсутствии массовых сил не содержат упругих постоянных материала. Следовательно, в случае плоской деформации при отсутствии массовых сил напряженное состояние тела в любом его односвязном сечении, параллельном плоскости деформации, определяется заданными на контуре этого сечения силами, его формой и не зависит от свойств материала.

Если сечение представляет собой многосвязную область, то независимость напряженного состояния от свойств материала обеспечивается при дополнительном условии, заключающемся в

уравновешивании внешних сил, приложенных к каждой из границ области. (Доказательство этого положения будет дано несколько позже.) Сказанное и составляет теорему Мориса Леви, лежащую в основе определения тензора напряжений на моделях из материала с другими упругими свойствами.

При плоской деформации, очевидно, будем иметь

В дальнейшем для удобства обозначено через

Из формул

определив выражения

и подставив их в уравнения равновесия яме (6.6), получим систему дифференциальных уравнений для в виде

Если принять последние уравнения примут вид

где Эти уравнения составляют дифференциальные соотношения Коши — Римана, следовательно, функции суть гармонически между собой сопряженные.