§ 43. Функция Эри в полярных координатах. Задача Ляме

Уравнения равновесия плоской задачи теории упругости в полярной системе координат на основании уравнения (2.30), когда отсутствуют массовые силы, примут вид

Решение этой системы может быть принято в виде

где функция напряжений Эри в полярной системе координат.

Первые два соотношения (6.41) должны удовлетворять условию

где двумерный оператор Лапласа в полярной системе координат

Подставляя выражения из (6.41) в (6.42), для определения функции Эри получим бигармоническое уравнение

Для случая симметричного распределения напряжений относительно начала координат уравнение (6.43) примет вид

общее решение которого будет

Подставляя (6.44) в формулы (6.41), для случая симметричного распределения напряжений относительно начала координат получим компоненты тензора напряжений

Если точка принадлежит области, то для ограничения компонентов тензора напряжений, определяемых формулами (6.45), следует брать равными нулю, тогда

Задача о деформации полого круглого цилиндра, подверженного равномерному давлению на внутренней и внешней поверхности, впервые решена Ляме. Решение этой задачи можно легко получить из соотношений (6.45), подчиняя их граничным условиям

где соответственно внутренний и внешний радиусы цилиндра.

Для определения коэффициентов нужно, кроме двух граничных условий (6.46), иметь еще и третье условие. Третьим условием является независимость проекций вектора перемещения от полярного угла так как независимость компонентов тензора напряжений от угла не обязательно приводит к независимости вектора перемещения от полярного угла Для случая плоской деформации и определяются из формул закона Гука

Из этих соотношений найдем

Здесь функции подлежат определению.

Так как проекции вектора перемещения не должны зависеть от ; то следует положить

В соотношениях (6.45), положив из граничных условий (6.46) найдем

Решая эту систему уравнений, получим

Учитывая (6.49) в (6.45), для компонентов напряжений окончательно будем иметь

Принимая во внимание соотношения (6.49), в формулах (6.47) будем иметь

Так как то, следовательно, и тогда

откуда

где интегральная постоянная.

Таким образом, тангенциальная проекция вектора перемещений представляет собой вращение абсолютно твердого тела.

Рассмотрим теперь задачу определения напряженного состояния тонкого концентрического круглого диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью На диск действует объемная сила

Учитывая, что здесь деформация относительно полюса О является симметричной, имеем Тогда из формул

Учитывая (6.52) из получим уравнение совместности деформаций в виде

или

Последнее соотношение удовлетворяется, если

На основании формул закона Гука (5.27) и того, что соотношению (6.54) придадим вид

Подставляя в это уравнение выражение из (6.53), будем иметь

Дифференцируем (6.53) по тогда

Подставляя (6.55) в последнее уравнение, найдем

Интегрируем это уравнение

Из (6.53) и (6.56) имеем

Для нахождения постоянных нас имеются следующие граничные условия

Отсюда

Решения этой системы уравнений будут

Следовательно,

На основании этих формул нетрудно убедиться, что напряжение является растягивающим и достигает максимального значения при Напряжение также является растягивающим и наибольшее значение наблюдается при При очень маленьком отверстии его края резко изменяется напряжение т. е. возникает концентрация напряжений. При этом из второй формулы (6.57)

Если диск сплошной то тогда для получения ограниченного решения следует принять тогда

В этом случае в центре будем иметь

Таким образом, в диске с очень маленьким отверстием у его края напряжение вдвое больше, чем в центре сплошного диска. Если стенка диска весьма тонкая, то можно тогда из второй формулы (6.57)

Рис. 19

В качестве одной из задач исследуем распределение напряжений и перемещений при чистом изгибе кругового бруса (рис. 19). Ввиду того, что тензор напряжений не зависит от координаты функцию напряжений берем в форме (6,44). Сформулируем граничные условия задачи в виде

На основании формул (6.45) этим условиям придадим вид

Решения этой системы уравнений следующие:

где

Таким образом,

Определим теперь перемещения Для данной задачи формулы закона Гука с учетом формул (4.50), (3.31) примут вид

Интегрируем последовательно первое и второе уравнения этой системы; тогда

Учитывая эти соотношения в третьем уравнении системы (6.58), получим

Отсюда

Общие решения этих двух уравнений соответственно будут

Таким образом, имеем

Для определения постоянных и следует взять некоторую точку, например О, и закрепить брус так, чтобы исключить его движение как твердого тела, т. е. следует положить в этой точке

Тогда

Окончательно перемещения примут вид

Из формулы для перемещения видно, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими.