Глава XI. ТЕОРИЯ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК

§ 84. Дифференциальное уравнение изгиба тонких пластинок

Тело, имеющее срединную поверхность в виде плоскости и толщина которого достаточно мала по сравнению с другими его двумя размерами, называется тонкой пластинкой. Пластинки находят широкое применение в технике; в качестве типичных примеров можно указать на бетонные и железобетонные плиты, применяемые в строительных конструкциях, для обшивки корпуса корабля. Плоскость, делящая толщину пластинки пополам, называется ее срединной плоскостью. Выберем оси координат в срединной плоскости, а ось перпендикулярно ей.

Если прогиб срединной плоскости пластинки мал по сравнению с толщиной пластинки, то имеют место следующие допущения: 1) нормаль к срединной плоскости до изгиба переходит в нормаль к срединной плоскости после изгиба; 2) компонент тензора напряжений кал по сравнению с другими компонентами тензора напряжений; 3) при изгибе пластинки срединная плоскость не деформируется.

Обозначим через прогиб срединной плоскости, а через и перемещения, параллельные соответственно осям

Рассмотрим сечения пластинки, параллельные плоскостям и 23, как показано соответственно на рис. 47, 48. Из этих рисунков, с учетом первого допущения для перемещений точки В, находящейся на нормали к срединной плоскости пластинки, имеем

Так как прогиб считается малым, то

Учитывая последние соотношения, найдем

Принимая во внимание из формул (3.26) найдем

В силу допущения 1) имеем

На основании допущения 2) примем тогда с учетом формул (11.2) закон Гука примет вид

Рис. 47

Рис. 48

Обозначим через изгибающие моменты, крутящие моменты и поперечные силы, отнесенные к единице длины сечений, параллельных плоскостям (рис. 49), тогда

Несмотря а то, что согласно (11.3) следует принять при составлении уравнений равновесия необходимо учесть результирующие силы (поперечные силы), определяемые касательными напряжениями как величины того же порядка, что интенсивность поперечной силы и моменты

Подставляя выражения в первые три соотношения (11.5), для однородной пластинки найдем

где цилиндрическая жесткость пластинки.

Рис. 49

Рассмотрим элемент, вырезанный из пластинки двумя парами плоскостей, параллельных координатным плоскостям и Для равновесия этого элемента необходимо, чтобы сумма сил, действующих на этот элемент, и сумма их моментов относительно осей в отдельности были равны нулю. Не учитывая массовые силы и пренебрегая величинами третьего порядка малости, имеем

Здесь частный дифференциал следующей за ним функции по координате После некоторых преобразований найдем

Учитывая соотношения в (11.8) и (11.9), для пластинки постоянной толщины будем иметь

Подставляя выражения в уравнение получим

Это уравнение было впервые получено Софи Жермен.

Таким образом, задача об изгибе пластинки поперечной силой сводится к интегрированию уравнения (11.11).

Рис. 50