§ 77. Давление на поверхность полубесконечного тела

Чтобы найти поле тензора напряжений в теле, занимающем полупространство подверженное воздействию сосредоточенной силы приложенной нормально к плоской границе этого тела, воспользуемся результатами предыдущих параграфов. Перенесем начало координат в точку приложения этой силы.

Возьмем решение уравнения (9.3) в виде суммы решений (9.20) и (9.22). Тогда

Эти соотношения представляют решение уравнения (9.3) всюду, за исключением точки приложения силы

Постараемся определить величины и А таким образом, чтобы на границе были выполнены условия отсутствия внешних сил, т. е. отсюда

и на основании законов статики в точке приложения силы

Учитывая формулы (9.21) и (9.23), из (9.27) получим

откуда

Таким образом, для определения А мы получили два уравнения (9.28) и (9.29), из которых находим

Подставляя полученные значения и А в формулы (9.26), найдем формулы Буссинеска

Решения (9.30) дают значения перемещений во всех точках упругого тела, достаточно удаленных от точки приложения силы

В точках границы где величины перемещений определятся по формулам

где

Внося значения и А в формулы (9.21) и (9.23) для определения поля тензора напряжений в рассматриваемом полупространстве, получим

Пусть является интенсивностью силы, распределенной по некоторой площади граничной плоскости полупространства, На элементарной площадке будет действовать сила

и на основании решения (9.30) перемещения будут

где

Здесь координаты точки приложения силы координаты точки, в которой ищутся перемещения

Перемещение по оси любой точки границы согласно (9.32), равно

где