§ 1. Определения скаляра, вектора и тензора

Пусть в некоторой системе координат имеем величину а в системе если при преобразовании (1.1) значения этих величин в одних и тех же точках равны, то эта величина называется инвариантом, или скаляром. Примерами скалярных величин являются плотность, температура.

Допустим, что в некоторой системе координат мы имеем совокупность трех величин а в системе если при преобразовании координат (1,2) величины определяются по формулам

то совокупность этих величин называют контравариантным вектором, а величины его компонентами. Как и в формуле (1.4), суммирование в формуле (1.5) производится по индексу , который фигурирует дважды. Легко заметить, что совокупность трех дифференциалов координат составляет контравариантный вектор. Действительно, из формул (1.2) имеем

Сравнение формул (1.6) и (1.5) показывает, что являются компонентами контравариантного вектора.

Пусть в некоторой системе координат мы имеем совокупность трех величин а в системе

Если при преобразовании координат (1.1) величины определяются по формулам

то совокупность этих трех величин называют ковариантным вектором, а величины — его компонентами. Легко убедиться, что в случае аффинного ортогонального преобразования определения коитравариантного и ковариантного векторов совпадают. Действительно, решив уравнения (1.4) относительно

из (1.4) и (1.8) найдем

Последние соотношения показывают, что формулы преобразования (1.5) и (1.7) совпадают, т. е. имеем

Совокупность величин ) называют аффинным ортогональным вектором.

Пусть в некоторой системе координат мы имеем совокупность девяти величин а в системе Если при преобразовании координат (1.2) величины определяются по формулам

то совокупность этих девяти величин называют контравариантным тензором второго ранга, а величины его компонентами.

В формулах (1.10) должно быть произведено двойное суммирование по всем значениям повторяющихся индексов пит ). Если

то совокупность девяти величин называют ковариантным тензором второго ранга.

Если

то совокупность девяти величин называют смешанным тензором второго ранга. В случае аффинного ортогонального преобразования определения контравариаитного, ковариантного и смешанного тензоров в силу (1.9) совпадают, т. е.

Совокупность девяти величин называют аффинным ортогональным тензором второго ранга.

Пусть в любой системе координат имеем совокупность следующих девяти чисел:

Покажем, что называемые символами Кронекера, являются компонентами смешанного тензора второго ранга; для этого мы должны показать, что удовлетворяют формулам (1.12)

В силу (1.14) имеем

Подставляя (1.1) в (1.2), получим

Дифференцируя обе части (1.17), найдем

С другой стороны,

Из сравнения (1.18) и (1.16) получим (1.15), что и требовалось доказать.

Тензоры более высокого ранга определяются аналогичным образом. Так, например, если

то совокупность 27 величин называют ковариантным тензором третьего ранга (число компонентов тензора определяется числом измерений пространства в степени, равной рангу тензора).

Рассмотрим контра вариантный и ковариантный тензоры второго ранга Если при изменении порядка индексов имеют место соотношения

то тензоры соответственно называются симметричным контравариантным и симметричным ковариантным. Если при изменении

порядка индексов имеют место соотношения

то тензоры соответственно называются антисимметричным контравариантным и антисимметричным ковариантныи.