1.9. Оптическая теорема

Полное сечение (1.8.7) удовлетворяет замечательному условию унитарности, называемому «оптической теоремой», которое будем часто использовать дальше.

Для конкретных начального и конечного состояний условие унитарности (1.2.14) может быть записано в виде

Для упругого рассеяния из (1.3.10) получаем

что вместе с (1.3.13) приводит (1.9.1) к виду

В случае, когда начальное и конечное состояния одинаковы, получаем, вспомнив (1.5.10):

Но правая часть здесь такая же, как и в (1.8.7) с учетом (1.8.5) и без потокового множителя. Так что окончательно получаем соотношение

Поскольку конечное состояние совпадает с начальным, есть амплитуда упругого рассеяния вперед без изменения направления движения частиц, т. е. что означает из (1.7.16) при условии что и поэтому

Эта оптическая теорема хорошо известна в нерелятивистском потенциальном рассеянии (см., например, [355]), где она утверждает, что вследствие сохранения вероятности амплитуда волновой функции в «тени» за мишенью должна быть меньше, чем амплитуда падающей волны, на величину, равную полному сечению рассеяния во всех направлениях. Уравнение (1.9.5) представляет собой тот же закон сохранения вероятности, распространенный на релятивистский случай, когда может происходить образование частиц. Отметим, что в правой части стоит только упругая амплитуда процесса в то время как в левой части — полное сечение процесса все возможные состояния.

Рис. 1.6. Оптическая теорема. Множитель есть выражение для потока (1.8.4) в пределе больших s

Из рис. 1.6 можно понять, как это соотношение возникает на языке диаграмм, причем последний шаг следует из (1.5.11), поскольку мы берем скачок -частичном разрезе и суммируем по всем

возможным промежуточным состояниям, учитывая закон сохранения 4-импульса. Вещественная аналитичность означает, что

Эта оптическая теорема является одним из наиболее полезных ограничений, которые унитарность накладывает на амплитуду рассеяния. В гл. 10 будут рассмотрены некоторые ее обобщения.