4. СПИН

4.1. Введение

Обсуждая теорию -матрицы в гл. 1 и развивая реджевскую теорию в гл. 2, мы для простоты пренебрегали той возможностью, что внешние частицы, входящие в данный процесс и образующиеся в результате его, могут иметь спин. Только внутренним реджеонам разрешалось иметь отличный от нуля угловой момент. Поскольку большинство экспериментов по рассеянию адронов использует нуклоны со спином 1/2 в качестве мишени, а пучок налетающих частиц может иметь спин 0 ( или К), 1/2 ( и т. д.) и 1 и поскольку частицы, образованные в конечном состоянии, могут иметь любой целый или полуцелый спин, следует исправить этот недостаток, прежде чем иметь дело с предсказаниями реджевской теории для мира реальных частиц.

При этом следует иметь в виду три важных обстоятельства. Во-первых, в эксперименте могут участвовать начальные частицы, ориентация спина которых задана (поляризационные эксперименты). Или

эксперимент может включать в себя определение спина некоторых частиц в конечном состоянии посредством последующего рассеяния или наблюдения их распада. Таким образом, существуют такие экспериментально наблюдаемые величины (в дополнение к которые показывают, как вероятность рассеяния зависит от направлений спинов частиц. Во-вторых, зависимость процесса рассеяния от векторов спина означает, что свойства лоренц-инвариантности и кроссинга для амплитуды рассеяния будут в общем случае более сложными, чем для случая бесспиновых частиц. Третье и наиболее важное обстоятельство для реджевской теории — это то, что полный угловой момент данного состояния не будет больше только орбитальным угловым моментом как в гл. 2, а будет векторной суммой 1 и спинов частиц так что, например, для начального состояния

и при выполнении правильного аналитического продолжения по (а не по I) необходима особая аккуратность. При обсуждении проблем спина наиболее часто используют метод инвариантных амплитуд в системе центра масс.

Чтобы получить инвариантные амплитуды, каждая частица со спином представляется волновой функцией причем спин квантован вдоль выбранной оси Для частиц со спином 1/2 эти волновые функции являются просто обычными четырехкомпонентными дираковскими спинорами и в то время как для спина 1 мы используем векторы поляризации а для более высокого спина волновые функции могут быть построены как произведение волновых функций со спином 1/2 и 1 при помощи подходящих коэффициентов Клебша-Гордана. Для процесса рассеяния амплитуда рассеяния между этими спиновыми состояниями может быть записана в виде (см., например, [40, 332])

где X — спинорные волновые функции частиц в начальном и конечном состояниях а функции представляют собой матрицы. Вследствие лоренц-инвариантности они могут быть представлены суммой

где скалярные функции инвариантов; различные независимые лоренц-инвариантные матрицы, которые могут быть построены из операторов спина (матриц Дирака, векторов поляризации и т. п.) и векторов импульсов частиц [116, 117, 354]. Так, например, доказано, что в случае рассеяния псевдоскалярных мезонов на барионах спин в (4.1.3) имеются только два независимых члена (это возникает вследствие ТСР-инвариантности и алгебры матриц Дирака) и в обозначениях работы [107] можно записать

где - 4-импульсы пионов в начальном и конечном состояниях соответственно; у — матрицы Дирака; искомые инвариантные амплитуды процесса.

Преимущество этого метода заключается в том, что в случае подходящего выбора инвариантные амплитуды свободны от кинематических сингулярностей, так что имеются только динамические особенности, порождаемые условиями унитарности. К тому же инвариантные амплитуды могут быть просто переписаны из одного канала в другой ), так как повороты спина и тому подобные сложности, происходящие при переходе из одного канала в другой, описываются функциями Таким образом, эти инвариантные амплитуды полностью аналогичны амплитудам для бесспиновых частиц, рассмотренных в гл. 1. Недостаток этого метода — то, что для высоких спинов определение полного набора независимых величин удовлетворяющих ТСР-инвариантности и не имеющих произвольных нулей (которые могли бы компенсировать кинематические полюса в амплитудах довольно затруднительно и условия унитарности усложняются из-за появления спиноров в промежуточных состояниях, что делает необходимым вычисление шпура произведения матриц. Усложняется также связь инвариантных амплитуд с наблюдаемыми на опыте величинами и, что, возможно, наиболее важно для нас, разложение этих амплитуд амплитудам с заданным угловым моментом не является тривиальным (см. обсуждение ковариантной реджезации в работах [153, 258, 367]).

По всем этим соображениям спиральное представление Жакоба и Вика является более популярным. (Полное рассмотрение спиральных амплитуд можно найти в работе

Как описано в гл. 1, спиральное состояние частицы с 4-импульсом и спином а обозначается где спиральность К есть проекция спина на направление движения частицы [из и может принимать 2а возможных значений, . Такие состояния образуют неприводимое представление группы Лоренца и инвариантны по отношению к вращениям. Состояние, отвечающее двум невзаимодействующим частицам, описывается прямым произведением

Мы находимся в системе центра масс, где есть квадрат полной энергии [см. (1.7.5)]. С целью избежать возможной путаницы будем обозначать спиральности в этой амплитуде буквой (обозначение X будет использовано в дальнейшем для спиральностей в системе центра масс -канала).

Таким образом, амплитуда рассеяния в системе центра масс s-канала для процесса может быть записана в виде

где зависимость от выражена в терминах инвариантов как это сделано в гл. 1, а спины являющиеся внутренними квантовыми числами (подобно и т. д.), опущены. Для краткости мы использовали обозначение

для спиральностей частиц в системе центра масс s-канала. Эти амплитуды лоренц-инвариантны, за исключением операции обращения направления импульсов

Преимущество этих амплитуд в том, что они могут быть сразу применены к частицам с любым спином, условия унитарности для них имеют довольно простой вид, сводящийся всего лишь к суммированию по спиральностям промежуточного состояния (см. разд. 4.7) и, как мы увидим далее, эти амплитуды непосредственно связаны с наблюдаемыми величинами. Относительно несложным является также и их разложение по состояниям с данным угловым моментом. Это связано с тем, что для двухчастичного состояния орбитальный угловой момент перпендикулярен к направлению относительного движения частиц. Таким образом, в системе центра масс проекция полного углового момента на направление движения есть просто заданная разность спиральностей. Так, для начального состояния (знак минус возникает из-за того, что частица 2 движется в направлении

Недостаток этих спиральных амплитуд заключается в том, что они не свободны от кинематических сингулярностей, так что мы должны научиться извлекать необходимые кинематические множители, прежде чем сможем записать дисперсионные соотношения, содержащие, подобно (1.10.7), интегрирование по всем динамическим особенностям. Нетривиальными являются также и свойства кроссинга, потому что из-за того, что направления движения частиц в системах центров масс и каналов различны, данная s-канальная спиральная амплитуда переходит в сумму -кaнaльныx спиральных амплитуд, и наоборот [см. формулу (4.3.7)].

Однако обе эти проблемы решены для случая произвольных спинов, поэтому сейчас спиральные амплитуды широко используются при рассмотрении проблем спина, и в этой книге мы будем повсюду ими пользоваться. Правда, инвариантные амплитуды были предложены раньше и довольно часто используются для описания рассеяния псевдоскалярных мезонов на барионах и процессов фоторождения.

В следующем разделе мы кратко обсудим соотношения между спиральными амплитудами и наблюдаемыми величинами и затем перейдем к рассмотрению их кроссинговых свойств. Мы повторим процедуры разложения по парциальным волнам и аналитического продолжения по угловому моменту, которым мы следовали в гл. 2, показырая дополнительные усложнения, которые привносит спин в реджевскую теорию. Завершим главу обзором условий, которые накладываются унитаоностью на реджевские особенности.