4.8. Фиксированные особенности и сверхсходящиеся правила сумм

Функции вращения использованные в (4.5.7) для определения парциальной амплитуды при любом У, имеют особенности при фиксированных У, следующие из выражения в квадратных скобках при нефизических значениях У. (Функция есть целая функция своих аргументов.) Поскольку имеет полюса при видно, что для целое)

Таким образом, при вычет в полюсе есть просто [см. ], так что при

как мы выяснили в предыдущем разделе, такой фиксированный полюс на вещественной оси несовместим с унитарностью, и поэтому интеграл в (4.8.2) должен обращаться в нуль, т. е.

или, взяв асимптотическое выражение для функций вращения [при из (Б.13а)],

что выполняется для всех

Такие интегралы называются сверхсходящимися правилами сумм или СПС для краткости. Например, для рассеяния бесспиновых частиц в (2.5.3) имеет полюса при всех отрицательных целых значениях и СПС принимают вид

Аналогичные СПС должны иметь место в потенциальном рассеянии, если траектория проходит ниже (см. разд. 3.3б).

Разумеется, если есть реджевские полюса и разрезы при то при интеграл (4.5.7) будет расходиться и СПС получаются только после устранения вклада всех таких полюсов и

разрезов. Поскольку ограничение Фруассара требует, чтобы правее 1 при 0 не было ни полюсов, ни разрезов, то из (4.8.3) и следует, что при

независимо от того, какие имеются реджевские особенности, потому что в противном случае фиксированные особенности (4.8.1) давали бы вклад в асимптотическое поведение, нарушающий ограничение Фруассара.

Но при в парциальных амплитудах останутся еще точки ветвления типа возникающие при сокращении нулей СПС с выражением (4.8.1). Их удобно объединить парами с кинематическими разрезами, идущими от Они не дают вклада в асимптотику, потому что также обращаются в нуль как в этих точках, что уже отмечалось при обсуждении формулы (4.6.2).

Однако В. Н. Грибов и И. Я. Померанчук [208] показали, что на самом деле СПС не могут выполняться при нефизических значениях с чужой сигнатурой и поэтому в этих точках будет иметь фиксированные полюса (или сгущение квадратичных точек ветвления). Это возникает потому, что, как видно из (2.6.19), мнимая часть парциальной спиральной амплитуды содержит вклад от третьей спектральной функции в виде

Это выражение обращается в нуль при физических значениях в точках своей сигнатуры. В случаях потенциального рассеяния (без майорановских обменных сил) третьей спектральной функции нет и ситуация иная. Однако в нефизических точках с чужой сигнатурой у амплитуд адрон-адронного рассеяния будут существовать фиксированные особенности типа (4.8.1). В то же время вследствие СПС их вычеты не будут обращаться в нуль потому, что, по крайней мере в некоторых областях значений где интеграл по s содержит упругую часть спектральной функции (см. рис. 2.6), из выражения (3.5.34) следует, что подынтегральная функция всегда положительна. Таким образом, СПС (4.8.3)-(4.8.5) справедливы только для таких У, когда вернемся к этому вопросу в разд. 7.2.

Вследствие условия унитарности (4.7.7) каждая спиральная амплитуда приобретет сингулярности всех других амплитуд, так что в действительности фиксированные особенности будут присутствовать во всех точках с чужой сигнатурой или поскольку дает наибольшее возможное значением. Разумеется, присутствие фиксированных

полюсов чужой сигнатуры при не нарушает ограничения Фруассара, так как обращение в нуль сигнатурного множителя гарантирует, что эти полюса не будут давать вклад в асимптотическое поведение амплитуды. Однако эти фиксированные полюса на вещественной оси несовместимы с условием унитарности, так что существование полюсов Грибова-Померанчука доказывает существование реджевских разрезов, что мы и увидим в гл. 8.