9.2. Многочастичная кинематика

Вначале рассмотрим процесс показанный на рис. 9.1. Для простоты предположим, что все внешние частицы — бесспиновые.

Квадрат энергии в системе центра масс равен (1.7.5]

Аналогично квадраты инвариантных масс (см. ниже) двухчастичных систем в конечном состоянии равны:

Кроме этого, существуют шесть инвариантов, характеризующих всевозможные кроссинговые каналы:

Ясно, что любой трехчастичный инвариант равняется некоторому двухчастичному инварианту [как в (9.2.1)] вследствие закона сохранения 4-импульса, и поэтому 10 инвариантов, определенных в (9.2.1), (9.2.2) и (9.2.3), включают в себя все независимые инварианты. Но совершенно очевидно, что все они не могут быть независимы, так как в разд. 1.4 было показано, что амплитуда с внешними линиями содержит только независимых переменных, и поэтому в случае только пять инвариантов могут рассматриваться как независимые. В системе центра масс частиц 4 и 5 вследствие того, что является квадратом полной энергии этих частиц, т. е.

называется «инвариантной массой» квазичастицы (45). Итак, если рассмотреть реакцию на рис. 9.1, а как процесс который показан на рис. 9.1, в, то получается, подобно (1.7.21), соотношение

Можно получить аналогичные соотношения и для других комбинаций из частиц конечного состояния.

Удобным набором независимых инвариантов, показанным на рис. 9.1, б, является следующий:

хотя выбор подходящего набора независимых инвариантов сильно зависит от области фазового пространства интересующей нас реакции, например рассмотрение реакции в области, которой отвечает диаграмма рис. предполагает, что удобным набором независимых инвариантов будет набор, совершенно отличный от (9.2.6).

В системе центра масс всей реакции и поэтому энергии и импульсы частиц 1 и 2 даются выражениями т. е.

и т. д. Аналогично рассмотрим систему (45) как одну частицу с массой как это предполагалось выше, то ясно, что в этой системе отсчета

Отметим, что аналогичные выражения можно получить для частиц 4 и 5, рассматривая систему (35) или (34) как одну частицу.

Рис. 9.2. График Далица изменений при заданном Область изменений находится из условия (9.2.10). Показанная граница физической области определяется условием (1.7.24), в котором сделаны очевидные замены. Пунктирными кривыми показаны области, где могут возникать резонансные пики

Угол рассеяния, равный углу между направлениями движения частиц 3 и 2, дается выражением (1.7.17) с заменой на т. е.

a физическая область этого процесса рассеяния дается выражением (1.7.24) с очевидными заменами.

Закон сохранения 4-импульса (9.2.1)

вместе с (9.2.2) и (1.7.4) приводит к

Таким образом, при некотором фиксированном только два из трех квадратов инвариантных масс, характеризующих различные двухчастичные системы в конечном состоянии, являются независимыми. Граница физической области, реакции, определенная (1.7.24) с подстановками, описанными выше, показана на рис. 9.2. Этот рисунок известен как график Далица [138]. Если в конечном состоянии может рождаться некий резонанс который распадается, например, на частицы как это показано на рис. 9.3, то можно ожидать, что при заданном фиксированном значении 32 в полном сечении, рассматриваемом как функция будет наблюдаться пик при что дтвечает вертикальной линии на графике Далица. Аналогичцо если

резонируют частицы 3 и 4, то пик будет при фиксированном а если резонанс в системе то ему соответствует диагональная линия, пересекающая график при фиксированном Итак, график, подобный тому, который показан на рис. 9.2, очень удобен при исследовании конечных состояний трехчастичных реакций, в частности, при выяснении вопроса о резонансах в двухчастичных системах в конечном состоянии.

Однако основной вопрос, который нас интересует, — это исследование реджевских обменов, подобных изображенным на рис. 9.1, б.

Рис. 9.3. Амплитуда реакции

Рис. 9.4. в перекрестном канале Процесс, идущий в перекрестном канале

Для этой цели нам необходимо определить угловые моменты для различных -каналов. Один из процессов, связанных с помощью кроссинга с реакцией рис. 9.1, показан на рис. 9.4, а. Это процесс

где система (15) рассматривается как квазичастица с массой Энергии и импульсы в системе центра масс этой реакции могут быть получены с помощью (1.7.15), совершая очевидные подстановки, причем и угол рассеяния в системе центра масс частицы 4 по отношению к направлению движения частицы 3 дается выражением (1.7.19), т. е.

где

Это выражение для угла рассеяния в системе центра масс частиц 273, где Стоит подчеркнуть, что процесс (9.2.11) отличается от обычной двухчастичной реакции с бесспиновыми частицами не только тем, что имеется изменяющаяся «масса» системы (15), но и тем, что квазичастица (15) уносит угловой момент, т. е. обладает как бы спином. Она будет затем «распадаться» на частицы и 5 с угловым распределением, которое будет зависеть от спиральности системы 15 в системе центра масс частиц 2 и 3 [подобно (4.2.13)].

Затем для процесса

(см. рис. 9.4, б) перейдем в систему центра масс частиц 1 и 5, в которой угол рассеяния частицы 5 по отношению к направлению движения частицы 4 равен

Азимутальный угол между плоскостями, содержащими частицы 4 и 5 и частицы 3 и 4 соответственно (рис. 9.5) называется углом

Толлера (или углом спиральности) [384]. С некоторым усилием этот угол можно определить следующим образом (см. [89]).

Рис. 9.5. Углы в системе центра масс частиц 1—5. Вектор направлен по оси вектор лежит в плоскости угол между плоскостью, содержащей вектора и плотностью, содержащей вектора т. е. угол между и плоскостью

Поскольку угол около направления движения частицы 4, то он остается неизменным, если сделать лоренцев сдвиг и перейти в систему покоя частицы 4. (Это преобразование очень сильно упрощает кинематику.) В этой системе покоя угол Толлера определяется следующим образом:

т. е. в данном случае он имеет смысл угла между плоскостью, содержащей частицы 2 и 3, и плоскостью, содержащей частицы 1 и 5, Так как из (1.7.2) и (1.7.4) следует

то в системе покоя частицы 4, где

Однако

и поэтому

С другой стороны,

a тождество Лагранжа дает

Все эти скалярные произведения можно найти с помощью (9.2.16). Таким образом,

Следовательно,

в же самом пределе. Все это приводит к

С другой стороны, аналогично (9.2.5) имеем

так что при фиксированном Следовательно,

Аналогично находим

и с несколько большими усилиями, что

Вспоминая определение (9.2.15) и называя получаем окончательное выражение для угла Толлера:

в пределе При фиксированных значениях часто оказывается, что значительно более удобно использовать переменную определенную как

Набор переменных

альтернативен по отношению к набору (9.2.6), но оказывается значительно более полезным при рассмотрении вопроса о реджезации.

Для того чтобы распространить данный подход на шестичастичную амплитуду (рис. 9.6, а), достаточно заметить, что эта амплитуда

становится похожей на пятичастичную амплитуду рис. 9.1, если считать систему (16) как одну частицу и заменить на Однако в этом случае помимо углов рассеяния и переменной Толлера появится переменная угол рассеяния в системе центра масс реакции и угол Толлера угол меду плоскостью, содержащей частицы 5 и 6, и плоскостью, содержащей частицы 4 и 5 в системе покоя частицы Или вместо последней можно использовать переменную Толлера Наборы переменных

дают восемь независимых переменных, требуемые для амплитуды с шестью внешними концами. Конечно, эти наборы переменных удобны только в том случае, если рассматривается область фазового пространства, соответствующая диаграмме рис. 9.6, а, а не рис. 9.6, б, для которой подходящим является совершенно другой набор угловых переменных (см. ниже).

Рис. 9.6. а — Мультиреджеонная амплитуда процесса Другая мультиреджеонная амплитуда

Как только число внешних концов начинает возрастать, тут же резко увеличивается число различных комбинаций частиц. Однако для любой заданной конфигурации полный набор независимых переменных всегда обеспечивается квадратами переданных импульсов косинусами углов рассеяния и переменными Толлера связанными с каждой соседней парой переменных (скажем, ). А для заданных фиксированных величин эти угловые переменные могут быть выражены в терминах переменных