1.2. S-Матрица

Теория S-матрицы начинается со следующих основных предположений.

Постулат I

Состояния свободных частиц, содержащие любое число частиц, удовлетворяют принципу суперпозиции квантовой механики, так что если физические состояния, то где любые комплексные числа, тоже является физическим состоянием. На самом деле существуют правила суперотбора, такие, как законы сохранения заряда и барионного числа, которые нарушают этот принцип, но здесь они будут несущественны (см. работу [305]).

Постулат II

Сильные взаимодействия обладают малым радиусом. Из ядерной физики мы знаем, что сильные взаимодействия не действуют на расстоянии, большем чем несколько единиц на (несколько компг тоновских длин волн пиона). Это значит, что мы можем рассматривать частицы как свободные (т. е. невзаимодействующие), за исключением того случая, когда они находятся очень близко друг к другу, и таким образом асимптотические состояния до и после эксперимента представляют собой свободные частицы (мы рассматриваем связанные состояния типа дейтрона как одну частицу). Ясно, что это справедливо, когда можно пренебречь силами с большим радиусом действия, такими, как электромагнитные и гравитационные. В действительности эти силы не могут быть включены в рамки формализма -матрицы без значительных трудностей и мы, в основном, будем игнорировать эти слабые взаимодействия и предполагать, что имеем дело с идеализированным миром, где они «выключены».

Чтобы определить полностью состояние одной свободной частицы, мы должны точно указать ее внутренние квантовые числа, т. е. ее заряд бар ионное число В, изоспин странность четность (а для нестранного мезона четность и зарядовую четность и ее спин а [собственное значение а равно а Классификация частиц в терминах этих квантовых чисел обсуждена в гл. 5. Мы обозначим все эти квантовые числа вместе как тип частицы Необходимо также определить проекцию ее спина на выбранную ось квантования-, скажем, а и ее массу энергию и импульс в некоторой выбранной лоренцевой системе отсчета.

Постулат III

Процесс рассеяния и, следовательно, -матрица инвариантны относительно преобразования Лоренца. Удобно рассматривать как временную компоненту релятивистского 4-вектора, пространственные компоненты которого есть т. е.

Мы всегда имеем дело со свободной частицей, для которой полная энергия определяется как

где масса покоя частицы. Так как мы используем единицы, где то 4-импульс находится на «массовой поверхности»

так что при заданной массе только три из его четырех компонент независимы.

В этой книге мы примем часто используемое условие, что ось спина совпадает с направлением движения частицы в выбранной системе отсчета. Проекция спина на эту ось называется спиральностью X и определяется как

Ясно, что X может принимать любое из возможных значений: .

Таким образом, одночастичное состояние обозначается как

и такие состояния образуют неприводимые представления группы Лоренца (доказательство см., например, [305]).

Очевидно, что состояния, соответствующие различным импульсам, внутренним квантовым числам или спиральностям, должны быть ортогональны друг другу, так что их скалярные произведения имеют вид:

где есть сокращенное обозначение для

нормировочный множитель.

Мы хотим нормировать векторы состояний лоренц-инвариантным образом. Нормировка состояния даст число частиц в данном элементе фазового объема вокруг вектора но это состояние, очевидно, не является лоренц-инвариантной величиной, потому что неинвариантен элемент объема Элемент объема однако, явным образом инвариантен, а -функция гарантирует, что частица находится на массовой поверхности. Элемент объема может быть записан в виде

поскольку, используя обычные правила для обращения с -функцией Дирака, т. е.

получаем

и всегда можно ограничить интегрирование только положительными значениями Следовательно, удобно выбрать в (1.2.6) таким, что

Множитель является результатом определенного соглашения, в то время как присутствие с учетом (1.2.7) гарантирует, что нормировка инвариантна относительно преобразований Лоренца.

Состояние, состоящее из свободных частиц, может быть записано как прямое произведение одночастичных состояний

и его нормировка из (1.2.9) имеет вид

Постулат IV

Матрица рассеяния является унитарной матрицей. Так будет, если состояния свободных частиц образуют полный ортонормированный набор базисных состояний, удовлетворяющий условию полноты

и, следовательно, для любого данного состояния вероятность того, что образуется любое конечное состояние, должна равняться единице. Таким образом, из (1.1.1) следует

и так как это должно быть справедливо для любого состояния получаем

так что является унитарной матрицей.

Для многочастичных состояний с нормировкой (1.2.11) условие полноты (1.2.12) имеет вид

где суммирование проводится по всем возможным числам частиц, их типам и спиральностям и по всем возможным импульсам частиц. Таким образом, в терминах этих состояний соотношение унитарности (1.2.13) принимает вид

где через обозначены частицы в промежуточном состоянии с 4-импульсами Отметим, что в этих уравнениях мы рассматривали все частицы как неодинаковые и будем делать так и далее. Для одинаковых частиц необходимо суммировать по способам перестановок импульсов в (1.2.11), при этом в условии полноты (1.2.15) и в выражении (1.2.16) появляется множитель

Условие унитарности (1.2.16) имеет фундаментальное значение для определения -матрицы. Однако оно довольно сложно и становится сушественно проше для понимания и применения, если представить его графически в терминах «блочных диаграмм». (Более полное изложение этого предмета может быть найдено в [157].)