1.7. Амплитуда 2—2

Как пример, который будет использован далее, рассмотрим процесс рассеяния (рис. 1.4, а). Ниже будут введены каналы, которые называются по соответствующим энергетическим инвариантам.

Вследствие кроссинга и ТСР-теоремы все шесть процессов

будут описываться одной и той же амплитудой рассеяния, но пары процессов, обозначенные и, будут занимать различные области переменных.

Рис. 1.4. Процессы рассеяния в и -каналах, определенные в (1.7.1)

В системе центра масс частиц 1 и 2 их 4-импульсы записываются как

где трехмерный импульс, который для двух частиц одинаков, но имеет противоположное направление. Аналогично для конечного состояния

Поскольку начальное и конечное состояния включают только свободные частицы, то должны удовлетворяться уравнения массовой поверхности:

Определим инвариант

который является квадратом полной энергии в системе центра масс для s-канальных процессов. Теперь, объединяя (1.7.4) и (1.7.5), получаем

где точка означает произведение 4-векторов. Подобным образом получаем из (1.7.2) и (1.7.5):

Теперь, объединяя (1.7.6) и (1.7. 7), получаем

для энергии частицы 1 в системе центра масс, выраженной через Аналогично находим:

Теперь из (1.7.4) и (1.7.8) получаем

Удобно ввести «функцию треугольника»

так что

Аналогично найдем

Далее введем инвариант

Вспоминая, что при кроссинге меняется знак становится ясно, что это квадрат полной энергии в системе центра масс -канала. Для этих процессов получаем

а порог находится при Однако в s-канале представляет собой импульс, переданный в процессе рассеяния, т. е. разность между импульсами частиц 1 и 3. Таким образом, из (1.7.13), используя (1.7.2) и (1.7.3), находим

где угол рассеяния между направлениями движения частиц 1 и 2 в системе центра масс s-канала (см. рис. 1.4, а). Подставляя в (1.7.16) (1.7.8) и (1.7.9), получаем

из (1.7.12), (1.7.13), где мы определили

Подобным образом в -канале s представляет собой переданный импульс, поэтому получаем

Наконец, для -канальных процессов квадрат энергии в системе центра масс равен

и можно написать аналогичные выражения для энергий, импульсов и углов рассеяния в этом канале.

Однако из разд. 1.4 мы знаем, что амплитуда четыреххвостки зависит только от двух независимых инвариантов, так что между должно быть соотношение. Действительно, объединяя (1.7.6), (1.7.16) и (1.7.20), находим

но закон сохранения импульса требует, чтобы Используя (1.7.4) и (1.7.18), получаем

Обычно мы будем использовать в качестве независимых переменных

Эти формулы существенно упрощаются при рассеянии частиц равных масс: так как

дает

Физическая область s-канала определяется условиями (т. е. порогом процесса) и Эту границу удобно записать в виде равенства нулю функции

которая после алгебраических преобразований с использованием (1.7.12), (1.7.13) и (1.7.17) равна

или

Несмотря на антисимметричный вид выражения (1.7.24), получаем

так что равенство дает границы физических областей для -каналов. Для рассеяния частиц равных масс (1.7.24) сводится к равенству и границами являются просто линии

Для неравных масс кривые границы асимптотически приближаются к этим линиям. Некоторые примеры показаны на рис. 1.5, где изображены удовлетворяющие условию (1.7.21).

На плоскости Мандельстама может быть указано также положение различных особенностей. Так, если все массы равны, то можно ожидать появления полюсов, отвечающих связанным состояниям при двухчастичных точек ветвления при или и следующих порогов, связанных с тремя, четырьмя и большим числом частиц в промежуточном состоянии при Нуклонный полюс и разнообразные резонансы для случая более реалистического -рассеяния показаны на рис. 1.5,5 (без учета сложностей, связанных с изоспином).

Из-за кроссинга можно ожидать, что ближайшие особенности в -каналах будут определять поведение амплитуды рассеяния в s-канале вперед и назад соответственно). Так, в -рассеянии существует пик рассеяния вперед при обусловленный пороговым разрезом в -системе и, в частности, вызванный резонансами которые существуют в -канале, и пик назад при связанный с обменом и другими полюсами, отвечающими барионным резонансам. Эта доминантность обмена полюсами будет важным положением теории Редже.

Хотя теоретически более удобно работать в системе центра масс, эксперименты (за исключением тех, которые выполняются на сталкивающихся пучках, таких, как делаются в так называемой лабораторной системе, в которой частица мишени находится в покое. Если 1 — частица пучка, мишени, то

где энергия, трехмерный импульс частицы пучка в лабораторной системе. Уравнения массовой поверхности (1.2.3) требуют, чтобы

так что инвариант s может быть выражен в терминах лабораторных величин следующим образом:

Для энергий много больших массы это выражение принимает вид

Подобным образом, если энергия частицы 4 в конечном состоянии, из (1.7.13) находим

(кликните для просмотра скана)