8.2. Реджевские разрезы и диаграммы Фейнмана

В разд. 3.4 было выяснено, что обмену одним полюсом Редже соответствует набор лестничных диаграмм Фейнмана, аналогичных тем, которые изображены на рис. 8.1, просуммированных по всем возможным числам перекладин, как это сделано в выражении (3.4.12). Реджевские разрезы возникают от обмена двумя (или большим числом) реджеонами.

Рис. 8.1. Лестничная диаграмма Фейнмана, дающая вклад в реджевский полюс в -канале

Рис. 8.2. Двухлестничная диаграмма, которая, как можно было бы ожидать, приводит к реджевскому разрезу

Самый простой тип диаграммы, которая может привести к реджевскому разрезу, изображен на рис. 8.2. Это планарная диаграмма, а правила получения асимптотического поведения таких диаграмм относительно просты, потому что асимптотика зависит только от вклада концевых точек области интегрирования (см. разд. 3.4).

Асимптотическое степенное поведение лестничной диаграммы при и фиксированном имеет вид [как это следует из (3.4.11)] и не зависит от числа перекладин, потому что начальное и конечное состояния в диаграмме соединяются одночастичным пропагатором, а главный член по s имеет вид так как существует независимых способов, которыми можно перейти по одночастичному пропагатору от начальных частиц к конечным. Этот результат может быть обобщен на большинство планарных диаграмм следующим образом [157].

Будем искать пути по диаграмме (т. е. связанные наборы внутренних линий), такие, что если стянуть их в одну точку, то диаграмма расщепится на две части, имеющие общую вершину и не соединенные другими линиями, причем связаны с одной частью диаграммы, а с другой (предполагается, что рассматриваем предел, когда фиксировано). Три различных способа стягивания диаграммы, изображенной на рис. 8.3, а, показаны на рис. Из этих путей выберем те, которые имеют наименьшую длину, т. е. те,

для стягивания которых нужно вычеркнуть наименьшее число линий. Таким образом, остаются диаграммы, изображенные на рис. 8,3, в и г, потому что при их стягивании сокращаются только две линии, а диаграмма на рис. 8.3, б исключается, потому что сокращаются три линии. Эти пути минимальной длины называются -линиями». Правило таково, что асимптотическое степенное поведение по s диаграммы, -линии которой имеют длину имеет вид Поэтому диаграмма, изображенная на рис. 8.3, а с -линиями длины 2, ведет себя как в то время как лестничная диаграмма на рис. 8.1 с -линиями длины 1 обладает асимптотическим поведением

Если в данной диаграмме существует таких -линий (и все одной и той же минимальной длины то асимптотическое поведение будет иметь вид

Так, поскольку диаграмма на рис. 8.3, а имеет две -линии, то ее поведение есть Очевидно, что это правило для лестничных диаграмм приводит к формуле (3.4.11). Некоторые диаграммы, включающие так называемые «сингулярные конфигурации», являются исключениями из этого правила [157], но здесь нам не нужно будет их рассматривать.

Рис. 8.3. а — Диаграмма Фейнмана. Три способа стягивания этой диаграммы, описанные в тексте

Если применить (8.2.1) к графику с двумя лестницами (см. рис. 8.2), то ясно, что -линиями в нем являются два нути вверху и внизу диаграммы, каждый из которых имеет длину 3, и поэтому Таким образом, все диаграммы, аналогичные диаграмме, изображенной на рис. 8.2, ведут себя как независимо от числа перекладин в обеих лестницах. Поэтому можно ожидать условии сходимости ряда), что сумма всех таких диаграмм, со всеми возможными числами перекладин в лестницах, будет обладать таким же асимптотическим поведением и приводить к фиксированной особенности в точке [см. (2.7.4)], а не к движущемуся реджевскому разрезу.

Реджевское поведение получается при суммировании по всем степеням в (3.4.12), а в асимптотике всех диаграмм, аналогичных изображенной на рис. 8.2, появляется только первая степень что мешает реджезации. Если просуммировать ряды диаграмм типа изображенных на рис. 8.4, то сумма приведет к реджевскому полюсу, аналогичному (3.4.12), но с а Малые лестницы просто перенормируют основную лестничную диаграмму, показанную на рис 8.1. Это поясняет, почему планарные диаграммы, асимптотическое поведение которых возникает из-за особенностей в концевых точках, дают вклад только в полюса Редже, а не в разрезы.

Однако если мы возьмем скачок в диаграмме рис. 8.2 на разрезе, отвечающему двухчастичному промежуточному состоянию, как это показано на рис. 8.5, а, то двухчастичное условие унитарности (1.5.7) приведет к двухчастичному скачку

где элемент телесного угла в промежуточном состоянии (см. рис. 2.1); и лестничные амплитуды, показанные на рисунке.

Рис. 8.4. Диаграмма «лестница в лестнице», дающая вклад в перенормировку простой лестничной диаграммы с четырьмя перекладинами

Рис. 8.5. а — Диаграмма, изображенная на рис. 8.2, разрезанная по двухчастичному промежуточному состоянию, Разрез по трехчастичному промежуточному состоянию, в — Аналогичный разрез

Если это выражение разложить в ряд по s-канальным парциальным волнам, то получим [см. (2.2.7)]

где

и т. д., после суммирования ряда по парциальным волнам (2.2.2.) получаем

Но поскольку [197

где

а ступенчатая функция

то

Тогда для больших s и малых из (1.7.22) следует:

так что (8.2.9) принимает вид

где

Результат, следующий из и из таков, что при и малых

Это выражение будет часто использоваться для интегрирования по фазовому пространству в предельном случае высоких энергий. Поэтому если, например, представить каждую сумму лестниц амплитудой с обменом полюсом Редже с линейной траекторией

и, поскольку известно, что [322]

то (8.2.11), когда приводит к

что соответствует реджевскому разрезу

с конечным скачком на разрезе [см. (2.7.4)]. До тех нор нока траектории есть монотонно возрастающие функции в интервале асимптотика выражения (8.2.11) будет определяться областью что благодаря (8.2.12) приводит к (так как

Так что в более общем случае

Читатель может легко проверить, что для линейных траекторий (8.2.19) приводит к (8.2.17).

Этот аргумент заставил Амати, Фубини и Стангеллини [19] предположить, что диаграмма, изображенная на рис. 8.2, приводит к появлению реджевского разреза (называемого теперь разрезом Однако мы знаем, что асимптотическое поведение этой диаграммы на самом деле имеет вид а не (8.2.16), и поэтому реджевское поведение двухчастичного скачка должно сокращаться другими разрезами диаграммы на рис. 8.2, такими, как, например, изображенный на рис. 8.5, б [296]. Это сокращение было ясно продемонстрировано в работе [215].

Скачок на двухчастичном разрезе, изображенном на рис. 8.5, а, можно записать в виде

где, как обычно,

Введем 4-векторы

со следующими свойствами:

Тогда, вводя переменные Судакова для каждого

где двумерный вектор, перпендикулярный плоскости, которая содержит проекции на направления соответственно. Таким образом, получаем:

где

а

Поэтому

Импульс, переданный по левой лестнице, равен

и при должен оставаться конечным, поскольку мы находимся в реджевском режиме. Таким образом, мы интересуемся областью интегрирования и поэтому благодаря -функции в выражении (8.2.28) должно быть Так что при

Теперь, если подставить в качестве асимптотического выражения для лестничной диаграммы (3.4.11), получим

что представляет собой результат, необходимый для получения (8.2.16) после суммирования по всем числам перекладин.

Если рассмотреть скачок, изображенный на рис. 8.5, б, то амплитуда левой части диаграммы равна

а правая часть имеет на одну перекладину меньше, так что

После интегрирования по получаем

Теперь, добавляя разрез, изображенный на рис. 8.5, в, который совпадает с этим с точностью до замены получаем точное сокращение асимптотического поведения скачка на разрезе, изображенном на рис. 8.5, а, т. е. формулы (8.2.31). Аналогичным образом возникают сокращения между асимптотикой всех других возможных унитарных сечений диаграммы рис. 8.2 и, следовательно, у нее действительно отсутствует реджевский разрез. (На самом деле -разрез существует на нефизическом листе, попасть на который можно, только пройдя под двухчастичным разрезом по

Приведенный выше пример очень хорошо демонстрирует опасность неоднозначного соответствия между диаграммами Фейнмана и унитарными диаграммами.

Рис. 8.6. а — Диаграмма Мандельстама — двойной крест, Наиболее простой вид диаграммы а с указанными фейнмановскими параметрами, в — Квадратная диаграмма, не обладающая асимптотическим поведением, возникающим из-за защемления контура, Диаграмма — крест, Диаграмма — крест в рассеянии реджеона на частице

Чтобы получить реджевский разрез, мы должны обратиться к непланарным диаграммам, в которых асимптотика получается из-за защемления контура интегрирования [157]. Самая простая диаграмма такого типа—диаграмма Мандельстама «двойной крест» (рис. 8.6, а), схема которой изображена на рис. 8.6, б. Она имеет шесть -линий, каждая из которых имеет длину 2, и поэтому ее поведение, определяемое особенностями в концевых точках, имеет вид Однако мы знаем, что крест — это простейшая диаграмма, которая может привести к фиксированному полюсу Грибова-Померанчука в точке плоскости -канального углового момента [см. (2.8.7)], так что эта диаграмма должна вести себя как

Коэффициент при s в фейимановском знаменателе в (3.4.4) равен

и при интегрировании по от 0 до 1 встретятся точки, где обращаются в нуль обе скобки и В этой области интеграл имеет вид

Когда s стремится к аргумент логарифма стремится к 1 и, поскольку получаем ожидаемое поведение Однако это верно только в том случае, когда все или все Если,

например, то, когда s стремится к числитель дроби под знаком логарифма стремится к а знаменатель — к так что весь логарифм стремится к что приводит вместо (8.2.34) к Поэтому обращение в нуль скобок в (8.2.33) дает асимптотическое поведение, определяемое защемлением контура и отличающееся от асимптотики, которая возникает из-за особенностей в концевых точках. В квадратной диаграмме, изображенной на рис. 8.6, в, должны быть заменены на а, и а соответственно, которые обращаются в нуль только в концевых точках.

Если теперь вернуться к диаграмме, изображенной на рис. 8.6, а, то главные особенности получаются вследствие защемления контура интегрирования в крестах и от концевых особенностей в лестницах (3.4. И). Найдено, что асимптотика этой диаграммы имеет вид

где амплитуда, отвечающая квадратной диаграмме (3.4.9), фейнмановский интеграл, отвечающий кресту, изображенному на рис. вблизи точки защемления контура, т. е.

где фейнмановский знаменатель. Квадрат функции возникает из-за того, что диаграмма 8.6, а содержит два одинаковых креста. Если теперь просуммировать (8.2.35) по всем возможным числам перекладин, то получим

что согласуется с результатом Амати, Фубини и Стангеллини (8.2.19) для положения разреза и приводит к выражению (8.2.17) в случае линейных траекторий.

Таким образом, диаграмма Мандельстама на рис. 8.6, а приводит к точке ветвления, положение которой в -плоскости совпадает с -разрезом (см. рис. 8.5, а). Выражение (8.2.37) отличается от (8.2.11) не только из-за наличия функции но и потому, что (8.2.11) содержит амплитуду в то время как (8.2.35) ее не содержит. [Выражение (8.2.11) разделено на потому что был взят К тому же -разрез может существовать только на нефизическом листе, в то время как разрез Мандельстама возникает на физическом листе и поэтому дает вклад в асимптотическое поведение амплитуды.

Другой способ убедиться, что необходима неплагррная структура диаграмм, заключается в том, что можно записать

где -амплитуда рассеяния реджеона на частице, описывающаяся крестом на рис. а контур интегрирования показан на рис. 8.7, а. Так как то можно развернуть контур, как это сделано на рис. 8.7, б, и получить

что совпадает с вычетом в фиксированном полюсе Грибова-Померанчука в амплитуде А, т. е. получается из (4.8.4) при Но, если амплитуда не имеет структуры креста и, следовательно, обладает особенностями только при положительном мы могли бы загнуть контур в верхней полуплоскости и получить что и происходит в случае -разреза. Вклад полюса в точке на рис. 8.5, а сокращается с правым разрезом, обусловленным особенностями вершины реджеон—частица, простейший вклад в которую дается диаграммой на рис. 8.5, б [272, 348].

Рис. 8.7. а — Контур интегрирования вдоль действительной оси. Деформированный контур, огибающий разрез вдоль положительной полуоси

Рис. 8.8. Рассеяние дейтрона на дейтроне. а — Единственное взаимодействие между парой нуклонов, Двойное взаимодействие между парой нуклонов, в — Двойное взаимодействие между различными парами нуклонов

Значительно более наглядная физическая интерпретация этого результата может быть получена при рассмотрении рассеяния составных частиц, например дейтронов. В -рассеянии, в дополнение к диаграмме с однократным обменом (рис. 8.8, а), возникают различные диаграммы с двойным рассеянием (рис. Диаграмма рис. 8.8, б при высоких энергиях становится очень маловероятной, потому что

Она требует, чтобы данная пара нуклонов рассеялась дважды друг на друге, несмотря на то, что они очень быстро пролетают мимо друг друга. С другой стороны, диаграмма рис. 8.8, в означает, что каждый нуклон испытал только однократное рассеяние, и этот процесс может существовать и при высоких энергиях. Итак, планарная диаграмма (б) вымирает при высоких энергиях, а диаграмма (в), зависящая от способа, которым нуклоны объединяются в дейтроне, выживает. Очевидно, что (в) имеет ту же структуру, что и диаграмма Мандельстама на рис. 8.6, а. (Связь между реджевскими разрезами и теорией многократного рассеяния Глаубера тем не менее довольно сложна

Диаграмма с тремя лестницами с непланарными вершинами между ними (рис. 8.9) приводит к трехреджеонному разрезу и т. д.

Рис. 8.9. Диаграмма, дающая трехреджеонный разрез

Приведенное выше обсуждение показывает, что с разрезами значительно сложнее иметь дело, чем с полюсами, так как, совершенно независимо от технических трудностей (которые мы опустили при этом быстром изложении) при вычислении амплитуды, отвечающей вкладу ветвлений, необходимо использовать свойства фейнмановских интегралов вне массовой поверхности, а не только скачки интегралов, в которых частицы находятся на массовой поверхности. Так, например, возникает функция которая определена только как фейнмановский интеграл, а не как физическая величина.

Несколько более регулярный способ исследования этой проблемы был предложен Грибовым — это реджеонное исчисление.