2.6. Сингулярности парциальных амплитуд и дисперсионных соотношений

Для того чтобы получить парциальные амплитуды с определенной сигнатурой в физической области -канала, можно воспользоваться выражениями (2.2.18) и (2.5.6) и тогда будем иметь 1

либо, что полностью эквивалентно, выражениями (2.5.3) и (2.5.8)

Так как скачок амплитуды на разрезах в плоскости а с другой стороны, как следует из скачок функции то тогда мы можем объединить формулы (2.6.1) и (2.6.2), написав следующее выражение:

где контур интегрирования охватывает либо разрез функции либо разрез амплитуды как показано на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Контур интегрирования в комплексной плоскости используемый в (2.6.3)

Вследствие того что интегрирование в (2.6.1) идет по конечной области s при фиксированном совершенно очевидно, что амплитуда будет иметь все -канальные пороговые точки ветвления, содержащиеся в амплитуде и возникающие при фиксированном В выражении (2.6.2) эти точки ветвления содержатся в функции Все они, конечно, генерируются условиями унитарности, что подробно обсуждалось в гл. 1.

Однако в парциальных амплитудах могут возникнуть добавочные сингулярности, не содержащиеся в полной амплитуде. Они возникают при обращении в нуль трехмерного импульса, который содержится в выражении для (1.7.19). Таким образом, в области порога упругой реакции и поэтому

Используя асимптотическое поведение функций Лежандра получаем

Подставляя это выражение в (2.6.2), имеем

Кроме того, импульс обращается в нуль на так называемом псевдопороге при Поэтому, если мы введем определение

то

Если пороги начального и конечного состояний совпадают, т. е. если то в этом случае возникает кинематический нуль порядка I на пороге, хотя с другой стороны для нечетных значений I имеются корневые точки ветвления. Это существенно усложняет дело в случае, если мы хотим делать аналитическое продолжение для нецелых значений I, так как из формулы (2.6.7) следует, что всегда имеются кинематические точки ветвления. Итак, если мы пожелаем написать дисперсионные соотношения для парциальных амплитуд, производя интегрирование только по динамическим сингулярностям, как это мы делали для полной амплитуды в выражении (1.10.7), мы должны первым делом устранить кинематические сингулярности с помощью введения «приведенных» парциальных амплитуд

в которых пороговые сингулярности по содержат только динамические пороговые точки ветвления. Ясно, что приведенная амплитуда вещественно аналитична, если, конечно, амплитуда сама является таковой (см. разд. 1.5).

При положительных скачок амплитуды В) на правом разрезе может быть получен, если подставить (2.5.9) в (2.6.2) с учетом (2.6.8), например

В дополнение к этим порогам амплитуда может также иметь сингулярности при фиксированном из-за полюсов, отвечающих связанным состояниям и лежащих ниже порога реакции. Таким образом, связанное состояние в -канале с массой и спином дает вклад в амплитуду, равный

где константа, характеризующая силу связи введен чисто условно). В выражение (2.6.10) явно включен пороговый фактор поэтому может быть константой. Из (2.2.18) с помощью и (2.6.8) получаем выражение для приведенной парциальной амплитуды

имеется вклад только в парциальную волну с Эти правосторонние сингулярности показаны на рис. 2.5, где также нарисованы пороговые разрезы вдоль положительной оси

Рис. 2.5. Сингулярности -канальных парциальных амплитуд в случае лэт-рассеяния. Пороги расположены в точках левые разрезы — в точках положения s-канальных разрезов, отвечающих s-канальным порогам при (отметим, что нечетное число пианов запрещено по -четности)

Помимо сингулярностей, обсужденных выше, имеются сингулярности, возникающие при отрицательных значениях вследствие существования s-канальных сингулярностей [Следует отметить, что не имеет сингулярностей по и, так как они были «переправлены» в s-канал с помощью (2.5.3)]. Для того чтобы рассмотреть эти сингулярности, предположим, что в s-канале имеется полюс, отвечающий связанному состоянию, со спином и массой

И, следовательно,

Это выражение будучи подставлено в (2.5.3) дает с помощью (2.6.8)

Так как функция имеет при целых I точки ветвления в плоскости при то амплитуда (2.6.14) имеет сингулярности при

т. е. когда

[это легко получить с помощью (1.7.19)].

Если все внешние частицы имеют равные массы (например, в случае реакции когда условие (2.6.15) вырождается в

т. е. при имеются точки ветвления: разрезы, отвечающие этим точкам ветвления, обычно рисуют вдоль отрицательной оси как показано на рис. 2.5. Заметим, что, в отличие от ранее рассмотренного случая, s-канальный полюс, отвечающий спину дает вклад во все парциальные волны -канала [см. (2.6.14)].

Таким образом, сингулярность возникает" вследствие защемления сингулярности амплитуды точками ветвления функции в выражении (2.5.3). Все другие s-канальные сингулярности, пороговые точки ветвления и т. п. будут давать подобные защемления и, следовательно, подобные левосторонние точки ветвления, положения которых определяются просто заменой в (2.6.16) на соответствующий порог по

В случае кинематики с неравными массами картина s-канальных сингулярностей на плоскости будет много более сложной. В этом случае имеются четыре решения уравнения (2.6.15), причем два из них будут независимыми от а именно: Например, в случае -рассеяния обмен нуклоном генерирует точки ветвления при

[отметим, что если на плоскости провести разрез, соединяющий последние две точки ветвления, а другой разрез, как обычно, направить вдоль отрицательной оси, то при Мы эти два разреза соединятся, давая один разрез, начинающийся в точке в согласии с (2.6.16); более подробно эти вопросы изложены в работе [305], на с. 376 и дальше].

Так как для целых I мнимая часть функции дается выражением то из (2.5.3) находим

отвечает ближайшей сингулярности по (рис. 2.6)]. Это выражение дает скачок амплитуды вдоль ее левого разреза. Для нецелых I мы вынуждены воспользоваться выражением Однако нас более интересуют сингулярности приведенных амплитуд поэтому рассмотрим эти амплитуды. При соответствует из (1.7.19), и поэтому точка ветвления при сокращается из-за кинематического фактора (2.6.8), т. е. выражение не имеет разреза для Имеется только вклад от разреза при с одной стороны, и вклад от

скачка в области отрицательных значений полученный из (2.5.9), с другой стороны. Поэтому

где области интегрирования показаны на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Сингулярности -канальных парциальных амплитуд с определенной сигнатурой на плоскости Мандельстама. Левый разрез при фиксированном приводит к иатегрвровавию по сянгулярностям по s между (ближайшая сингулярность по Для достаточно малых отрицательных значений это интегрирование включает в себя интегрирование двойной спектральной функции между граничными точками Контур интегрирования при факсированном показан пунктирной линией

Так как замена на эквивалентна изменению знака то с помощью выражение (2.6.18) можно привести к виду

Последний член в этом выражении возникает из-за обменных сил и, следовательно, двойная спектральная функция не дает вклада, когда I имеют свою сигнатуру, т. е.

Теперь мы знаем структуру сингулярностей и поэтому можем написать дисперсионные соотношения для приведенных парциальных амплитуд

причем оба скачка будут даваться двойными спектральными функциями из выражений (2.6.9) и (2.6.19). Отметим, что особое внимание необходимо уделить рассмотрению вопроса о вычитаниях, так как, выделив пороговое поведение в определении (2.6.8), мы ухудшили асимптотическое поведение по Такие дисперсионные соотношения широко используют при параметризации парциальных амплитуд, в частности, когда необходимо совершить фазовый анализ. Особую важность имеет тот факт, что в этих дисперсионных соотношениях легко совершается операция кроссинга, причем сингулярности, отвечающие перекрестным каналам, появляются на левом разрезе. Отметим, что скачок на правом разрезе дается соотношением унитарности. Это легко показать, если рассмотреть условие унитарности (2.2.7) (с заменой на и наоборот) и вспомнить определение (2.6.8):

где

причем в области упругого рассеяния [ср. (2.2.8)]

Подчеркнем, что эта форма условия унитарности окажется очень полезной, когда мы будем делать аналитическое продолжение по