1.8. Экспериментально наблюдаемые величины

Разумеется, амплитуда рассеяния, которую мы ввели в разд. 1.3, не может быть измерена непосредственно. В эксперименте по рассеянию (в идеальном случае) измеряются импульсы, энергии и поляризации спинов всех частиц, которые образованы в данном двухчастичном столкновении и цель теории — нахождение вероятности возникновения из данного начального состояния определенного конечного состояния.

Исходя из выражения (1.1.1) и определения амплитуды рассеяния (1.3.10), (1.3.11) и т. д. вероятность в единицу времени и на единицу объема того, что из данного начального состояния

образуется конечное состояние дается вероятностью перехода

Сечение рассеяния для этого процесса определено как полная вероятность перехода на единицу плотности падающего потока частиц. Плотность потока падающих частиц число начальных частиц на единицу площади и в единицу времени — определяется относительной скоростью двух частиц деленной на инвариантный нормировочный объем V, т. е. на объем фазового пространства, который отвечает двум изолированным частицам. Этот объем из (1.2.11) равен

Таким образом, в системе центра масс получаем

Скорости в системе центра масс из (1.7.2) равны

так что

что, разумеется, есть инвариант. Чтобы получить полную вероятность перехода, нужно просуммировать по всем возможным конечным состояниям содержащим частиц, так что

где мы проинтегрировали по всем возможным импульсам частиц в конечном состоянии с учетом нормировки (1.2.11) и (1.2.7). Временно мы будем иметь дело только с бесспиновыми частицами, так что опустим 2 и заменим на Множитель

представляет собой объем фазового пространства, который могут занимать частиц в конечном состоянии, и интеграл в выражении (1.8.5) берется по этому объему.

Полное сечение рассеяния частиц 1 и 2 получается суммированием выражения (1.8.5) по всем возможным конечным состояниям, содержащим различное число частиц, а именно

Если в конечном состоянии имеются только две частицы 3 и 4 с импульсами в системе центра масс, определяемыми выражением (1.7.3) то из (1.8.5) получаем

Так как трехмерные импульсы частиц в (1.7.3) равны и противоположно направлены, то в (1.8.8) можно, используя -функцию, выполнить одно интегрирование

Можно выразить элемент объема в импульсном пространстве в полярных координатах где -элемент телесного угла, связанный с направлением частицы 3, а полярный угол определен по отношению к направлению пучка — оси Тогда, определяя

получаем

так что

и, наконец,

Поэтому полезно ввести «дифференциальное сечение»

которое, при единичной плотности потока падающих частиц, дает вероятность частице 3 рассеяться в угол

Так как сейчас мы рассматриваем только случай бесспиновых частиц, то всегда вероятность рассеяния не зависит от азимутального угла поскольку нет никакого фактора, который выделял бы какое-либо направление перпендикулярно падающему пучку, и из (1.7.16) при фиксированном s следует

Поскольку более удобно взять в качестве дифференциального сечения

В общем случае можно получить парциальное (или дифференциальное) сечение по любому инварианту, поместив в выражение -функцию. Так, определяя получаем

и ясно что эта процедура может быть повторена с целью получить парциальное сечение по отношению к любому числу независимых инвариантов.