7.4. Модель Венециане

Значительный прогресс в понимании и обобщении концепции дуальности связан с именем Венециано [389]. Он построил простую модель для амплитуд рассеяния 2-2, которые удовлетворяют большей части требований дуальности.

Начнем наше рассмотрение с процесса который имеет и -полюса в и -каналах, -Канал является экзотическим, так как Итак, в том случае если померонная компонента исключается при рассмотрении этого процесса упругого рассеяния, то мы ожидаем, что приближенно вырожденные и -траектории дадут лидирующие вклады в обоих каналах, однако может еще существовать бесконечный набор резонансов с теми же самыми квантовыми числами.

Требование дуальности (7.3.4) состоит в том, что сумма по всем s-канальным полюсам должна равняться сумме по всем -канальным полюсам, т. е.

и что реджевское асимптотическое поведение возникает по обеим переменным, т. е.

Простейшей функцией, которая содержит бесконечный набор s-канальных полюсов, лежащих на траектории и возникающих, когда равняется положительному целому числу, является

Рис. 7.4. Полюса амплитуды Венециано в плоскости Полюса возникают, когда принимают положительные целые значения, причем линии нулей пересекают точки пересечения полюсов для того, чтобы предотвратить возникновение двойных полюсов

Так как необходимо, чтобы полностью аналогичное поведение возникало и по то можно попробовать написать амплитуду

но это выражение может давать двойной полюс в плоскости когда как так и а равняются положительным целым числам (рис. 7.4). Однако эти двойные полюса легко устраняются, если написать амплитуду в виде

которая и есть амплитуда Венециано. Здесь произвольное число, которое задает масштаб сил связи, как это будет показано ниже [см. уравнение (7.4.12)].

Асимптотическое поведение этой амплитуды может быть выведено с помощью формулы Стирлинга [292]

(эта формула справедлива всегда, за исключением клина вдоль оси отрицательных значений х и содержащего эту ось, где при целых значениях х возникают полюса), которая дает

Следовательно, если растущая функция то имеем при фиксированном используя (6.2.32):

Затем если положить, что линейная функция т. е. то получим

которая приводит к требуемому реджевскому поведению. А так как формула (7.4.4) симметрична по s и то очевидно, что точно такой же результат действителен и в случае, когда фиксировано.

Формула (7.4.4) заслуживает особое внимание: а) она явно кроссинг-симметрична и, таким образом, имеет одинаковые полюса и одинаковое реджевское поведение как по так и по для того чтобы получить нужное реджевское поведение, мы должны потребовать, чтобы траектория была асимптотически линейна. Это требование полностью соответствует наблюдаемому линейному поведению при малых что до сих пор является загадочным; в) она имеет полюса только при целых положительных значениях а так как нефизический множитель устраняет полюса при а она также имеет фазу (6.8.21), отвечающую сумме двух обменно-вырожденных траекторий. Это обеспечивает то, что при а при т. е. в физической области -канала, так как -канал экзотический. Однако поскольку полюса расположены на действительной оси, то скачок как так и -каналах является просто суммой -функций, а двойная спектральная функция определена на множестве точек, где пересекаются траектории полюсов, как показано на рис. 7.4; д) масштабный фактор в асимптотическом поведении (7.4.8) дается

Ранее мы уже отмечали, исходя из эмпирических соображений, что

Для того чтобы получить спектр резонансов в s-канале, используем следующую формулу [292]:

С помощью этой формулы можно написать

Таким образом, если при то имеется полюс следующего вида:

Итак, если а то вычет в полюсе является полиномом по — порядка а

и, следовательно, вычет может быть переписан в виде суммы по полиномам Лежандра Таким образом, полюс при соответствует последовательности вырожденного резонанса, которые имеют спины, равные Окончательный спектр резонансов представляет собой бесконечную последовательность пространственно раздвинутых дочерних траекторий, показанных на рис. 7.5, причем названия частиц с данным спином соответствуют названию частицы с наименьшей массой.

Рис. 7.5. Состояния требуемые моделью Венециано для -рассеяния. Открытыми кружочками показаны положения, где возникают предки, если, конечно, используются комплексные траектории а

Так как амплитуда Венециано является аналитической функцией по имеющей правильное асимптотическое поведение и содержащей только полюса, то совершенно ясно, что она должна была бы давать решение условия согласованности ПСКЭ (7.2.22). Это не совсем тривиально, потому что реджевское асимптотическое поведение нарушается на положительной полуоси Связь между вычетами двух каналов, каждый из которых пропорционален очень напоминает наше приближенное решение (7.2.27). Довольно полный обзор свойств формулы Венециано и проверок ПСКЭ можно найти в работе [363].

Наиболее очевидным дефектом модели Венециано является то, что полюса расположены на вещественной оси таким образом, мы не получаем реджевского поведения именно там, где оно в действительности наблюдается экспериментально. Это происходит потому, что мы используем действительные траектории, тогда как известно (из рассмотрения, проведенного в разд. 3.2), что выше порога в каждом из каналов унитарность требует, чтобы траектории становились комплексными должна быть пропорциональна ширине резонанса, см. (2.8.7)] и полюса уходили с физического листа.

Поэтому кажется довольно очевидным, что необходимо ввести в рассмотрение комплексные траектории, удовлетворяющие дисперсионным соотношениям типа в (7.4.4). Однако если это сделать, то вычеты полюсов при в (7.4.12) перестанут быть полиномами по тогда выражение (7.4.13) станет больше неприменимым, поскольку каждый полюс создает резонансы с произвольно высоким спином, в частности появятся полюса на рис. 7.5, отвечающие так называемым «предкам». Несмотря на появление этих предков, асимптотическое поведение все же остается в виде (7.4.8). Это указывает на то, что амплитуда больше не сходится при больших I, что необходимо для выполнения теоремы Карлсона (см. разд. 2.7). Кроме того, петли Аргана теперь довольно слабо связаны с резонансами (см. [131, 343] и рис. 7.6), а амплитуда не имеет гладкого реджевского асимптотического поведения, если только не растет очень быстро с увеличением В этом случае резонансы становятся настолько широкими, что исчезают.

Рис. 7.6. Мнимая часть амплитуды -рассеяния в модели Венециано с комплексными а

Хотя было сделано много значительно более утонченных попыток, по сравнению с указанной выше, ввести резонансы с ненулевой шириной в формулу Венециано, ни одна из них не оказалась удовлетворительной, потому что связи, налагаемые аналитичностью и требованием реджевского асимптотического поведения по всем направлениям, оказываются слишком жесткими [29, 118]. Для того чтобы использовать модель феноменологически, необходимо признать достоверность асимптотического поведения (7.4.8), несмотря на то, что оно на самом деле несправедливо при положительных вещественных значениях Кроме того, для феноменологии очень существенно, чтобы можно было включить в рассмотрение внешние частицы с более высокими спинами, особенно со спином, равным 1/2. Это уже сделано (см. Невье и Шварц [317]), однако, для того чтобы удовлетворить симметрии Мак-Дауэлла, в этих моделях пришлось ввести дублеты по четности. Вследствие того, что дочерние последовательности модели Венециано не соответствуют последовательности полюсов Толлера, необходимо, чтобы бесконечные суммы венециановских членов

удовлетворяли соотношениям конспирации (6.5.7). В дальнейшем мы коснемся некоторых обобщений модели Венециано в гл. 9.

Кроме того, важно отметить, что выражение (7.4.4), конечно, не является единственным. Действительно, амплитуда

где произвольные коэффициенты, также удовлетворяет всем ПСКЭ и требованиям дуальности. Выражения известны как «сателлитные» члены Венециано. Они отличаются от (7.4.4) тем, что имеют первый полюс по s при а асимптотическое поведение Ясно, что возможно только в том случае, если траектория пересекает линию при в отличие от того, что изображено на рис. 7.5. Эта произвольность демонстрирует слабость условий согласованности ПСКЭ по сравнению с полными бут-странными требованиями, которые зависят от унитарности.

Несмотря на эти проблемы, которые сильно ограничивают феноменологические применения, модель Венециано является очень полезной теоретической «игрушкой», которая, как будет показано в гл. 9, может быть легко распространена на многочастичные процессы.

Пока модель подходит только для процесса когорый имеет экзотический -канал Если предположить, что не связан с системой (см. разд. 5.2), то полная амплитуда вследствие этого будет иметь только обменно-вырожденные -траектории в качестве лидирующих траекторий (раз уж померонная компонента вычтена), но необходимо также наложить требования, следующие из изоспиновых кроссинговых связей (6.7.10), и ограничение, связанное со статистикой Бозе, выражающееся в том, что амплитуда с четным изоспином является четной при пространственном отражении и наоборот. Таким образом, -канальные изоспиновые амплитуды могут быть записаны в следующем виде:

(где а, b и c — константы), при условии, что симметрична при замене Применяя затем соотношение кроссинга (6. 7.10)

к (7.4.16) с кроссинговой матрицей из табл. 6.3, найдем, что, для того чтобы быть уверенными в отсутствии полюса в экзотической амплитуде т. е. чтобы устранить из нее члены и необходимо, чтобы В то же время для того

чтобы сделать амплитуду А симметричной при замене требуется, чтобы Итак,

Этот результат получен Ловласом [289]. Вычеты -канальных полюсов в (7.4.17), отвечающие трем изотопическим спинам ), очевидным образом находятся в соотношении которое дает собственный вектор кроссинговой матрицы -рассеяния с собственным значением, равным 1, т. е.

Когда при фиксированном то, подставляя (7.4.7) в (7.4.17), получаем

причем появление следствие члена В квадратных скобках (7.4.19) содержится, конечно, только сигнатурный фактор, ожидаемый для -полюса, имеющего и отрицательную сигнатуру. Подобным образом для амплитуды четной при замене получаем, что члены т. е. появляется сигнатурный фактор -траектории, имеющей положительную сигнатуру. Особой тщательности, однако, требует рассмотрение члена Он не содержит никаких полюсов по следовательно, не должен давать вклад в асимптотическое поведение в этом пределе. Из (7.4.6) находим

где с — константа при условии, если т. е. когда наклоны траекторий в и -каналах одинаковы. Ясно, что для кроссинг-симметричной амплитуды -рассеяния это будет справедливо всегда. Итак, в (7.4.7) обращается в нуль, когда

Этот нуль совпадает с адлеровским нулем, требуемым алгеброй токов (см., например, работы Реннера [341] и Адлера и Дашена [15]), которая приводит к обращению в нуль амплитуды -рассеяния в нефизической точке если

(см. работу Вайнберга [401]). Так как траектория должна достигать значени при то имеем

в довольно хорошем согласии с (5.3.1) и рис. 5.5, б.б. Используя эти параметры для траектории, находим, что имеется хорошее согласие между (7.4.4) и требованиями алгебры токов [289]. Итак, несмотря на очевидные дефекты, модель Венециано обладает, как это ни удивительно, многими правдоподобными свойствами яя-рассеяния.