Главная > Введение в реджевскую теорию и физику высоких энергий
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.7. Аналитическое продолжение в плоскость углового момента

Представление Грибова-Фруассара (2.6.2) может быть использовано, чтобы определить амплитуды при всех значениях I, а не только при целых или четных значениях, как предполагалось до сих пор. Если говорить более точно, то представление Грибова-Фруассара позволяет определить амплитуды для всех тех I, для которых где и где для как следует из (2.4.9). Основное преимущество использования формулы (2.6.2) по сравнению с (2.2.18) при рассмотрении нецелых I заключается в том, что функция имеет лучшее поведение при чем функция и

Единственными сингулярностями функции являются полюса при [см. поэтому формула (2.6.2) определяет функцию переменной I, которая является голоморфной (т. е. свободной от сингулярностей) в области

Однако совершенно не очевидно, что это расширенное определение парциальных амплитуд обладает большими достоинствами, чем предыдущее, так как только целые положительные значения I имеют физический смысл и поэтому совершенно ясно, что существует

бесчисленное множество способов интерполяции по целым числам. Но так как амплитуда определенная с помощью (2.6.2), исчезает, когда [см. (2.5.5)], то теорема Карлсона (доказанная в книге 381], говорит о том, что продолжение, даваемое формулой (2.6.2), является единственным продолжением, обладающим этим свойством.

Более точно теорема Карлсона формулируется следующим образом: если является регулярной функцией и имеет поведение О причем при кроме того, для бесконечной последовательности целых чисел то тождественно. Таким образом, если мы напишем, что

где функция получена с помощью представления Грибова-Фруассара и где для целых значений I, то теорема гласит, что либо когда либо функция всюду исчезает, т. е. тождественно равна нулю. Возможно, простейшим примером является следующий:

Вспоминая, что совершенно очевидно, что когда из-за наличия дополнительного члена.

Следовательно, выражение (2.6.2) определяет однозначным образом функцию как голоморфную, имеющую конечный предел при для всех Однако продолжение в область затруднено из-за расходимости при

Для того чтобы перейти к дальнейшему рассмотрению, нам необходимо сделать дополнительное и очень существенное предположение о том, что амплитуда рассеяния аналитическая функция I во всей комплексной плоскости углового момента и содержит только изолированные особенности. Таким образом, в дальнейшем мы будем рассматривать только изолированные особенности, которые естественным образом будут приводить к расходимости, но мы сможем тем не менее сделать аналитическое продолжение в оставшуюся часть комплексной плоскости.

Для примера предположим, что скачок имеет степенное поведение в асимптотике

причем Так как из следует, что а из (1.7.9) — что то при больших s (скажем, s больше некоторого формула (2.6.2) дает

Следовательно, амплитуда имеет полюс при Это есть, по нашей гипотезе, наиболее правая особенность в комплексной плоскости I и, таким образом, это именно та сингулярность, которая мешает нам сделать продолжение левее Однако раз уж этот полюс является изолированной особой точкой, то мы можем сделать продолжение вокруг него влево, но до тех пор, пока не наткнемся на другую сингулярность, соответствующую следующему члену асимптотического разложения скачка

В частности, в разложении могут содержаться логарифмические члены типа

которые дадут

Таким образом, амплитуда будет иметь точку ветвления при или кратный полюс в случае, если является положительным целым числом. Физический смысл этих полюсов и точек ветвления мы будем обсуждать ниже.

Предположение о том, что амплитуда имеет только изолированные особые точки и поэтому может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость углового момента, иногда называют постулатом о «максимальной аналитичности второго рода», для того чтобы отличать его от постулата V разд. 1.4, касающегося аналитичности по переменным s и Постулат о максимальной аналитичности второго рода является основным предположением, на котором основано применение теории Редже к физике частиц, что, к сожалению, ни в коей мере нельзя считать доказанным, хотя, как будет показано в следующей главе, это предположение является справедливым в различных реалистических моделях сильных взаимодействий и, что много более важно, похоже, что находится в согласии с экспериментальными данными.

Таким образом, если все это справедливо, то ряд (2.5.6) в разложении по парциальным волнам можно переписать в виде контурного интеграла в комплексной плоскости I (этот метод использовал Зоммерфельд [364], следуя технике, предложенной Ватсоном [398]):

Контур показан на рис. 2.7. Он охватывает все целые положительные числа и нуль, но избегает каких-либо точек, соответствующих сингулярностям Вычеты подынтегрального выражения в

полюсах, расположенных в целых точках в которых имеют следующий вид:

[для того чтобы это получить, нужно использовать

Таким образом, с помощью теоремы Коши мы получаем из (2.7.5)

Следовательно, выражение (2.7.5) эквивалентно (2.7.7) при условии, что амплитуда имеет требуемые аналитические свойства по

Рис. 2.7. Контур интегрирования в комплексной плоскости I, охватывающий все положительные целые числа. Контур можно развернуть вдоль линии с полуокружностью на бесконечности. Этот контур называется

Так как мы уже нашли, что амплитуда не имеет сингулярностей при то мы можем заменить контур на контур как показано на рис. 2.7, и будем уверены, что при этом мы не захватим ни одной сингулярности подынтегральной функции. Это справедливо при условии, что вертикальная линия соответствует Вследствие условий (2.5.5) и интеграл по полукругу (при условии, что его радиус стремится к бесконечности) будет равен нулю. Эти условия и также показывают, что область сходимости (2.7.5) по переменной много больше, чем малый эллипс Лемана (2.4.11), внутри которого справедливо разложение (2.7.7). Эта область не зависит от фактически, вследствие (2.5.11) должна включать в себя всю комплексную плоскость Отметим, что сингулярности по амплитуды которые мешают сходимости выражения (2.7.7), содержатся в функции при [для нецелых I это можно увидеть с помощью

Если мы будем смещать налево, то нам будут встречаться сингулярности плоскости I, подобные (2.7.2) и (2.7.4), которые ответственны за расходимость (2.6.2). Давайте предположим для простоты, что мы встретили только один простой полюс при которому отвечает и только одну точку ветвления при когда мы прошли всю область как показано на рис. 2.8. Тогда мы получаем следующее:

где последний член отвечает интегрированию вокруг части разреза, отвечающего точке ветвления и показанного на рис. скачок на разрезе]. Формула (2.7.8) известна в литературе как представление Зоммерфельда-Ватсона.

Рис. 2.8. Контур интегрирования развернутый вдоль Этот контур включает в себя обход полюса при и охватывает раацез, отвечающий точке ветвления при

Очевидно, что первый член, который называется «фоновым интегралом», обращается в нуль, когда как Это легко получить, если вспомнить асимптотическое поведение функции при [см. ]. Аналогично сразу получается, что полюсный член также как и в (2.7.1), тогда как асимптотическое поведение вклада от разреза зависит от скачка на этом разрезе в области Если скачок ведет себя как то поведение в асимптотике будет [см. (2.7.4)].

В случае потенциального рассеяния (для потенциалов с «хорошим поведением») в амплитуде имеются только полюса и отсутствуют разрезы. Это было показано Редже в статьях, посвященных этому вопросу (см. гл. 3). В физике частиц мы предполагаем, что имеются и разрезы, однако подробное обсуждение этих вопросов мы отложим до гл. 8, а все предыдущие главы посвятим детальному рассмотрению полюсов.

1
Оглавление
email@scask.ru