6.7. Внутренняя симметрия и кроссинг

6.7а. Изоспин

Как уже упоминали в разд. 5.2, приближенная симметрия сильных взаимодействий по отношению к внутренним и -симмет-риям приводит к важным соотношениям между амплитудами рассеяния. Мы начнем с группы которая изменяется не более чем на несколько процентов, что зачастую намного меньше погрешности, с которой может быть определена амплитуда рассеяния. Поэтому часто удобнее оперировать с амплитудами рассеяния для различных возможных изоспиновых состояний, а не с амплитудами для различных зарядовых состояний рассеивающихся частиц.

Удобно вначале рассмотреть распад частицы, например, такой, как а Конечное состояние может быть выражено в терминах изоспинов частиц [см. (5.2.1)]

Полный изоспин есть сумма векторов изоспина частиц

с возможными собственными значениями

где

Состояние (6.7.1) может быть записано как суперпозиция различных возможных состояний с суммарным изоснином следующим образом

где коэффициенты Клебша-Гордана [158]. Поскольку частица а имеет определенный изоспин то только один член из суммы (6.7.5) описывает процесс распада и поэтому амплитуда распада может быть записана в виде

где А — приведенная амплитуда, не зависящая от Таким образом, изотопическая инвариантность приводит к тому, что различные зарядовые состояния частицы а, имеющие свои различные значения [см. (5.2.1)], будут иметь значения ширины распада, связанные друг с другом при помощи коэффициентов Клебша-Гордана группы

Например, в распаде как так и -мезоны имеют что отвечает зарядовым состояниям

Поэтому в соответствии с (6.7.6) различные амплитуды распада связаны соотношением:

где приведенная амплитуда. Такие соотношения хорошо выполняются в адронных распадах.

Аналогичным образом для процесса рассеяния где как начальное, так и конечное состояния могут быть выражены через состояния с определенным изоспином подобно (6.7.5) в случае, если процесс рассеяния изотонически инвариантен, амплитуда рассеяния может быть разложена следующим образом:

где не зависит от В общем случае число различных изотопических амплитуд меньше, чем число процессов с заряженными частицами, и поэтому соотношение (6.7.8) связывает друг с другом амплитуды различных процессов.

Например, в -рассеянии состояние имеет и поэтому Аналогично состояние имеет Поэтому из (6.7.8)

Аналогично, находя коэффициенты Клебша-Гордана, получим ;

Таким образом, восемь различных процессов -рассеяния определяются всего лишь двумя независимыми изоспиновыми амплитудами и

В настоящее время нет убедительного объяснения, почему природа должна была выбрать такую сложную симметрию для взаимодействий адронов, но она, несомненно, подтверждается с погрешностью до нескольких процентов — уровень, на котором она, по предположению, нарушается электромагнитными взаимодействиями.

Обсудим кратко соотношения между s-канальными амплитудами, возникающие из-за обмена частицами, имеющими определенный изоспин в -канале. -Канальный процесс может быть представлен как

в то время как для s-канального изоспина выполняется (6.7.8). Соотношение кроссинга (4.3.1) для изотопических амплитуд принимает вид

где изотопическая матрица кроссинга может быть получена из коэффициентов Клебша-Гордана в (6.7.8) и (6.7.11). Однако в выборе фазы данного изотопического состояния и при изотопическом сопряжении требуется некоторая осторожность. Подробнее это обсуждается в работе [84]. Несколько, полезных примеров приведено в табл. 6.3.

Таблица 6.3 (см. скан) Изоспиновые матрицы кроссинга

Чтобы проиллюстрировать, как возникают эти матрицы, рассмотрим -рассеяние. В терминах изотопических состояний можно записать:

и т. д. Так, например,

Теперь при кроссинге s-канальный процесс переходит в процесс в -канале и поэтому

что дает нижнюю строку в матрице кроссинга для -рассеяния в табл. 6.3. Другие элементы могут быть выведены аналогичным образом.

6.7б. SU(3)-симметрия

Как и для изоспина, можно ожидать, что различные процессы рассеяния будут связаны коэффициентами Клебша — Гордана группы при условии, что сильные взаимодействия инвариантны по отношению к этой симметрии [84, 201].

Если обозначить мультиплет, к которому принадлежит частица, т. е. буквой а ее квантовые числа буквой то состояние может быть разложено по неприводимым представлениям группы следующим образом :

где скобки означают коэффициент Клебша-Гордана.

Из мультиплетов разд. 5.2 наиболее важными являются 184, 201]:

где индексы означают симметричную -связь и антисимметричную -связь между октетами соответственно.

Теперь коэффициент Клебша-Гордана для группы факторизуется на коэффициент Клебша-Гордана для группы и изоскалярный множитель вида

Коэффициенты приведены, например, в работе [327]. Так, для векторного мезона V, принадлежащего октету и распадающегося на два псевдоскалярных мезона также принадлежащих октету в пределе точной -симметрии получаем

где — угол смешивания в выражении (5.2.17). Однако, для того чтобы проверить такие соотношения, необходимо учесть сильно различающиеся в разных распадах фазовые объемы, что связано с большим расщеплением масс из-за нарушения симметрии. В частности, распады запрещены, так как масса резонанса меньше порога этих каналов распада. Учитывая оптимальным образом рассматриваемые неопределенности (см., например, [201]), можно утверждать, что эти соотношения выполняются достаточно хорошо.

Однако легче проверить соотношения -симметрии для полюсных обменов в амплитудах рассеяния. Инвариантность процессов рассеяния адронов по отношению к преобразованиям группы приводит к тому, что амплитуды могут зависеть от но не должны зависеть от v [ср. (6.7.11)], и поэтому для процесса получаем

Так, например, в процессе типа где — члены мезонного и барионного октетов соответственно, имеется всего лишь семь независимых приведенных амплитуд

Это следует из (6.7.17) [отметим, что из-за инвариантности по отношению к обращению времени таким образом, все многообразие амплитуд этого типа связано коэффициентами Клебша-Гордана со всего лишь семью амплитудами, приведенными в (6.7.20) [аналогично (6.7.10)].

Таблица 6.4 (см. скан) Октетные матрицы кроссинга

Разумеется, при низких энергиях большое расщепление масс видоизменяет эти соотношения, но при высоких энергиях, когда внешние массы становятся несущественными, можно надеяться, что такие соотношения будут выполняться. Конечно, при этом должно аккуратно учитываться расщепление в траекториях (см. разд. 6.8 и далее). Если провести разложение, аналогичное (6.7.20), и для -канального процесса то можно записать соотношение кроссинга

где матрица кроссинга. Пример такой матрицы приведен в табл. 6.4. Мы используем эти результаты далее.