10.3. Инклюзивные сечения

Формула (1.8.5) представляет собой выражение для сечения процесса и дает в расчете на единичный падающий поток частиц вероятность образования -частичного конечного состояния; в выражении (1.8.7) мы просуммировали эти сечения для того, чтобы получить полное сечение Сечение образования, по крайней мере одной частицы типа 3, плюс все, что угодно, дается формулой

где при импульсы -частиц типа 3 в конечном состоянии; импульсы других -частиц, которые также образовались в данном конечном состоянии Таким образом, вероятность, деленная на единичный поток падающих частиц, детектирования частицы типа 3 в элементе фазового объема

(т. е. в элементе телесного угла с нмпульсамн между дается выражением [ср. (1.8.17)]

где просуммировано по всем -частицам типа 3 в конечном состоянии. Однако полученное выражение зависит от системы координат и вместо него желательно, используя инвариантность [показанную в (1.2.7)], определить инвариантное одночастичное инклюзивное сечение

Это выражение можно также переписать в терминах других переменных. Например, используя с учетом (10.2.10) и (10.2.7), получим

или, написав и заметив из (10.2.18), что

получим

Или, так как из (10.2.14), (10.2.17) и (10.2.3) следует

то находим

Все эти выражения используются в литературе. Полное одночастичное инклюзивное сечение равно

где а полное сечение образования -частиц типа 3 плюс X, которое представляет все, что еще образуется в реакции помимо частиц типа 3. (Таким образом, а дается выражением, (10.3.1), просуммированным по но не по Вес, с которым входит каждое возникает как следствие дополнительного суммирования

по в (10.3.2). Итак, если мы введем определение средней множественности частиц типа 3

то в таком случае

и, следовательно, полное инклюзивное сечение равно полному сечению, умноженному на среднюю множественность. Физическая причина этого состоит, конечно, в том, что если детектирующая аппаратура представляет собой установку, которая регистрирует события, когда образуется хотя бы одна частица типа 3, то те события, в которых наблюдаются две частицы типа 3, нужно считать дважды и т. д. Этот многократный счет приводит к возникновению в инклюзивных сечениях многих специфических свойств. Иногда удобно ввести

так что

Эмпирически было найдено (рис. 10.5), что при больших значениях

Это соотношение вследствие означает, что

возрастает с увеличением энергии как Итак, с увеличением энергии соударения все меньшая ее доля идет на образование новых частиц, тогда как основная часть уносится в виде кинетической энергии частиц конечного состояния. Ниже мы увидим, как это можно было бы объяснить.

Таким же образом можно определить двухчастичные инклюзивные распределения. Для этого нужно взять вероятность, деленную на единичный поток, образования в реакции частицы типа 3 в элементе фазового объема и частицы типа 4 в элементе фазового объема

Совершая процедуру, подобную (10.3.7), получим

где X не включает в себя частицы типа 3 и 4 и где среднее от произведения множественностей частиц 3 и 4. Предполагается, что частицы 3 и, 4 различного типа (например, под частицей 3 можно понимать пионы, а под частицей 4 — протоны или 3 могут быть отрицательно заряженными частицами, положительно заряженными).

Рис. 10.5. Средняя множественность заряженных частиц в протон-протонных столкновениях в зависимости от

Видно, что множественность возрастает логарифмическим образом. Рисунок взят из работы Моррисона [312]

Если же частицы 3 и 4 являются частицами одинакового типа, то

так как если в данном событии содержится частиц типа имеется различных способа выбрать первую частицу и способа, чтобы выбрать вторую.

Аналогично (10.3.10) можно определить величину

и, комбинируя (10.3.13) и (10.3.14), получим

Эти результаты легко обобщить на случай инклюзивных распределений образования любого числа типов частиц в процессе для которого в случае, если одинаковые частицы:

причем

Так как большая часть частиц, образовавшихся в конечном состоянии X, ненаблюдаема в эксперименте, можно было бы думать, что эти инклюзивные измерения должны всегда давать меньше информации о процессе рассеяния, чем эксклюзивные измерения, однако в действительности это не так.

Рис. 10.6. а — n-частичное инклюзивное сечение, Вклад n-частичного конечного состояния в -частичное инклюзивное сечение

Напишем эксклюзивное сечение процесса (рис. 10.6) в виде

Однако если наблюдаем, скажем, только I из них, то инклюзивное сечение а равно

если считаем все частиц одинаковыми. Итак, как и ожидалось, инклюзивные сечения могут быть получены из эксклюзивных. Однако если делать наоборот, то данное -частичное эксклюзивное сечение может быть получено из всех инклюзивных сечений, так как

Пояснения даны на примере (рис. 10.7): берем трехчастичный инклюзивный процесс и затем вычитаем из него все те процессы, где образуется по меньшей мере четыре частицы, вспоминая при этом, что

из-за тождественности частиц пятичастичное эксклюзивное сечение умножается на 2, когда считается его вклад в трехчастичное инклюзивное сечение, и т. д.

Следовательно, полный набор инклюзивных сечений содержит точно ту же самую информацию, что и полный набор эксклюзивных сечений. Конечно, многочастичные инклюзивные сечения так же трудны для измерений и анализа, как и многочастичные эксклюзивные сечения, и поэтому на практике малочастичные инклюзивные реакции дают дополнительную информацию о малочастичных эксклюзивных сечениях.

Рис. 10.7. Трехчастичное эксклюзивное сечение, выраженное через трех- и более частичные инклюзивные сечения, как было получено в формуле (10.3.20)

Следующий шаг — вывод теоремы Мюллера, которая позволит сделать реджевские предсказания для этих инклюзивных распределений.