4.5. Представление Грибова — Фруассара

Поскольку определенная в (4.4.16), не имеет кинематических особенностей по то она удовлетворяет дисперсионному соотношению по при фиксированном аналогичному (1.10.7), т. е.

где скачок на динамическом разрезе по s выше порога (и аналогично Полюса, отвечающие связанным состояниям, если они существуют, могут быть добавлены в выражение (1.10.7).

Следуя методу, развитому в разд. 2.3, это выражение может быть использовано для определения парциальных амплитуд даже вне области сходимости ряда по парциальным волнам. Подставляя (4.5.1) в (4.4.17) и вспоминая соотношения (4.4.16) и (2.3.2), получим [75, 147]

которое, с учетом обобщенного соотношения Неймана дает представление Грибова-Фруассара [ср. (2.3.4)]

где при получении второго члена использована формула

Если асимптотически ведет себя как то из а так как и поскольку из критерий сходимости интеграла (4.5.3) такой же, как и (2.3.4), т. е.

Из видим, что при первый член в (4.5.3) стремится к нулю как

а второй член ведет себя как

и, таким образом, расходится при Следовательно, (4.5.3) не удовлетворяет условиям теоремы Карлсона и (как в разд. 2.5) прежде чем делать аналитическое продолжение по необходимо ввести амплитуды с определенной сигнатурой. Они определены заменой множителя на сигнатуру где

Отметим, что вопрос, целые или полуцелые значения принимает зависит от У. Следовательно,

При эти амплитуды совпадают с физическими амплитудами четное (нечетное)], так что вместо (4.4.14) можно записать

если определить

Отметим, что вследствие соотношения симметрии убывает четное (нечетное)].

Амплитуды рассеяния сданной сигнатурой определены соотношением

Уравнение (4.5.7) можно использовать для определения парциальных амплитуд с определенной сигнатурой для всех Разумеется, физические значения -это те, для которых целое, причем для начального состояния (частицы в -канале) и для конечного состояния. Таким образом, как это было определено в (4.4.15), Так как эти значения имеют физический смысл, то они называются «физическими-физическими» или -значениями, и амплитуды для этих значений также называются -амплитудами. При продолжении по мы можем прийти к целым значениям но где

Если, например, то такие значения имеют физический смысл для конечного состояния, но не имеют физического смысла для начального состояния (и наоборот, если Такие значения называются «физическими-нефизическими» или -значениями У. И, разумеется, для целых значений при мы имеем «нефизические-нефизические» или -амплитуды, которые не имеют физического смысла ни для начальных, ни для конечных состояний [187]. Иногда удобно называть все целые упри «нефизическими» значениями У.