1.10. Дисперсионные соотношения по одной переменной

В соответствии с обсуждением в разд. 1.5 предполагается, что единственными особенностями, появляющимися на физическом листе, являются полюса, которые отвечают стабильным частицам, и пороговые точки ветвления.

Рис. 1.7. а — Особенности по s на физичеасом листе при фиксированном . б- Контур интегрирования в комплексной s-плоскости, растянутый до бесконечности и окружающий разрезы и полюса на вещественной оси

Так, для случая равных масс, зафиксировав равным некоторому малому действительному отрицательному значению (см. рис. 1.5), мы обнаружим в s-плоскости особенности, показанные на рис. 1.7. Справа, для будут находиться s-канальные полюса, отвечающие связанному состоянию, и различные s-канальные пороги. Слева, при мы обнаружим -канальный полюс и -канальные пороги. Ясно, что расстояние между полюсами зависит от выражения (1.7.21)

Если взять достаточно большим отрицательным числом, то эти особенности будут перекрываться.

Мы провели разрезы от s-канальных порогов вдоль действительной оси по направлению слегка сместив их для лучшей видимости) и от -особенностей по направлению Тогда лист, изображенный на рис. 1.7, а, является физическим листом, на котором s-канальная физическая амплитуда получается приближением к действительной оси сверху, и аналогично -канальная амплитуда получается как что соответствует приближению к действительной оси s снизу, как это обусловлено соотношением (1.10.1).

Определим скачки на разрезах:

где мы опустили третью зависимую переменную. Вследствие вещественной аналитичности А (см. разд. 1.5) получаем

и таким образом вдоль s-канальных разрезов и вдоль -канальных разрезов.

Идея дисперсионных соотношений заключается в выражении амплитуды рассеяния с помощью интегральной формулы Коши [381]

так что

где интеграл берется по любому контуру, направленному против часовой стрелки в комплексной плоскости s, окружающему точку s и такому, что аналитична (гомоморфна) внутри контура и на нем самом (см. рис. 1.7, б). Можно расширить контур так, что он обойдет полюса и разрезы, как это показано на рисунке, и тогда

(Необходимо помнить, что связаны соотношением Тогда если

то вклад от окружности на бесконечности исчезает и окончательно получаем

где и -канальные пороги соответственно.

Такие дисперсионные соотношения были выведены первоначально Крамерсом [265] и Кронигом [266] для рассеяния света на свободных электронах, и они представляют собой критическую проверку сделанных в разд. 1.5 предположений об аналитичности. С точностью имеющихся экспериментальных данных они согласуются с опытом [156]. Теоретически они очень важны, потому что, как мы показали, задавая полюса, отвечающие частицам, с помощью условий унитарности можно получить все остальные особенности амплитуды рассеяния и скачки на разрезах (по крайней мере в принципе). Таким образом, условия унитарности дают нам но не дают Однако, поскольку мы знаем все скачки амплитуды, с помощью дисперсионных соотношений можно найти также и действительную часть амплитуды, и таким образом при заданных полюсах, отвечающих частицам, унитарность плюс аналитичность полностью определяют амплитуду рассеяния.

Однако часто требование сходимости (1.10.6) не выполняется, и в таком случае мы должны прибегнуть к процедуре вычислений. Так если [пренебрегая для простоты другими членами в

но интеграл расходится при то вместо него мы должны записать дисперсионное соотношение для включив в скобки достаточное количество членов, чтобы обеспечить сходимость (предполагая, что для этого достаточно конечного их числа). Итак,

Здесь мы собрали вместе дополнительные вклады от каждого из полю при Отсюда

где — произвольный полином порядка по но теперь интеграл сходится, если Таким образом, проблема сходимости решена ценой введения произвольного полинома, который не определен (по крайней мере прямо) условиями унитарности. Одна из основных задач реджевской теории — ликвидация этого недостатка определением вычитаний.

Особенно полезны дисперсионные соотношения для упругой амплитуды рассеяния вперед, такие, как для реакции при когда Из оптической теоремы (1.9.5) следует

и эти сечения равны, если частицы одинаковы. Можно показать (см. разд. 2.4), что (с возможными множителями типа так что в (1.10.7) необходимы только два вычитания. Так, произведя вычитания в точке мы получим (пренебрегая всеми полюсными вкладами) для действительных s выше s-канального порога:

где главное значение [см. (1.5.2)]. Таким образом, если известно полное сечение (и сделаны предположения о его поведении при очень больших где оно еще не измерено), то можно найти в терминах только двух неизвестных — вычитательных констант Поскольку в экспериментах по интерференции с кулоновским взаимодействием может быть измерена непосредственно (см., например, [155]), то справедливость дисперсионных соотношений при может быть проверена.