1.13. Потенциальное рассеяние

Достаточно ясно, что теория нерелятивистского потенциального рассеяния имеет весьма малое отношение к физике частиц. Это не просто вопрос введения релятивистской кинематики. Саму идею потенциала, являющегося функцией пространственных координат, очень трудно обобщить на релятивистский случай. В действительности существование локального причинного взаимодействия всегда приводит, вследствие лоренц-инвариантности, к испусканию квантов поля. А в физике частиц, за исключением очень низких энергий, преимущественно будут происходить неупругие процессы, включающие образование новых частиц, которые, очевидно, нельзя легко включить в рамки потенциального рассеяния.

Тем не менее потенциальное рассеяние является очень полезным теоретическим методом для исследования многих аспектов квантовой теории рассеяния и некоторые из моделей, используемых в физике частиц, основаны на аналогии с теорией потенциального рассеяния. Для наших целей особенно важно то, что в потенциальном рассеянии, при условии соответствующего поведения потенциалов, выполняется тот вид дисперсионных соотношений, который мы обсуждали в этой В гл. 3 мы покажем, что и основные идеи теории Редже также могут быть доказаны в потенциальном рассеянии. В этом разделе мы постараемся выявить аналогии между структурой сингулярностей амплитуд потенциального рассеяния с потенциалом Юкавы и сингулярностями -матрицы.

Уравнение Шредингера для двух частиц, взаимодействующих посредством локального потенциала в системе центра масс, имеет вид [355]

где волновое число (энергия приведенная масса. Удобно ввести

так что уравнение (1.13.1) принимает вид

Рис. 1.12. Падающая плоская волна, волновой вектор к которой направлен вдоль оси z, рассеянная потенциалом в точке в направлении с волновым вектором к

Начальное состояние представляется плоской волной с волновым вектором к, направленным вдоль оси (рис. 1.12):

Мы ищем решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному условию, такому, что при

где второй член есть расходящаяся рассеянная волна, волновой вектор которой к направлен по направлению единичного вектора а амплитуда рассеяния. Для упругого рассеяния

Решение (1.13.3) с граничным условием (1.13.5) дается уравнением Липпмана-Швингера

где функция Грина равна

То, что выражение (1.13.6) является решением уравнения (1.13.3), можно проверить прямой подстановкой, имея в виду, что

И при условии, что поскольку та получаем

что при сравнении с (1.13.5) дает

Борновское приближение, справедливое при высоких энергиях, получают аппроксимацией в (1.13.10) падающей плоской волной (1.13.4) в предположении, что рассеяние невелико:

Удобно ввести (по аналогии с предыдущими обозначениями) величину для полной энергии (в единицах, где и

где К — вектор переданного импульса. Тогда

Теперь, при подстановке

где полярные углы вокруг оси К (рис. 1.13), интегрирование по углам легко выполняется, поскольку и получаем

Рис. 1.13. Волновые векторы равны, так что Углы есть полярные углы вектора по отношению к оси К

Самой простой формой короткодействующего потенциала, присущего сильным взаимодействиям, является потенциал Юкавы

где константа связи, а — радиус; для этого потенциала получаем

Таким образом, борновское приближение для амплитуды рассеяния в потенциале Юкавы является просто полюсом в точке вычет в котором дается константой связи. Разумеется, для более сложных потенциалов аналитические свойства не будут столь просты, но как суперпозиция потенциалов юкавского типа может быть представлен широкий класс потенциалов:

где весовая функция, что дает

Это выражение, очевидно, гомоморфно по а разрез по идет от

Чтобы двинуться дальше, мы отметим, что, поскольку

выражение (1.13.3) может быть записано как

Поэтому формально

и после последовательных подстановок

Поэтому в выражении (1.13.10) получаем

Первый член есть борновское приближение (1.13.11), который обозначим следующим образом:

где состояния есть собственные состояния оператора импульса, такие, что

Теперь, используя соотношение полноты, чтобы записать

получаем борновский ряд (1.13.23) в виде

Поскольку член в фигурных скобках есть опять борновское разложение амплитуды то можно переписать (1.13.26) как уравнение Липпмана-Швингера для амплитуды рассеяния

которое представлено графически на рис. 1.14.

Для потенциала Юкавы подстановка (1.13.16) в (1.13.24) и (1.13.26) приводит к уравнению

являющемуся степенным рядом по константе связи и напоминающему правила Фейнмана для диаграмм на рис. 1.10, но, разумеется, для случая трех измерений. Второй член имеет разрез по для где знаменатель обращается в нуль. Первый член имеет полюс при второй — разрез, начинающийся в точке Второй член имеет двойную спектральную функцию Мандельстама с границей при

Таким образом, рассеяние в потенциале Юкавы или его простые обобщения типа (1.13.18) имеют структуру особенностей, аналогичную той, которой обладает квантовая теория поля

Рис. 1.14. Представление уравнения Липпмана-Швингера диаграммами борновского ряда, где потенциал действует в произвольный момент времени

Разумеется, есть принципиальная разница, заключающаяся в отсутствии -канальных особенностей (которые должны соответствовать обменному потенциалу майорановского типа), при отсутствии неупругих порогов по s и в том факте, что упругая точка ветвления находится при поскольку вместо релятивистской кинематики мы используем нерелятивистскую: