5.2. Унитарная симметрия

5.2а. Изоспин

Из ядерной физики хорошо известно, что сильные взаимодействия с хорошей точностью инвариантны относительно преобразований группы изотопического спина (или изоспина) по крайней мере порядка нескольких процентов. Эта группа изоморфна группе вращений, причем вектор изоспина соответствует У, в то время как его проекция на ось в пространстве изоспина 4 соответствует Эта изотопическая инвариантность подтверждается двумя связанными аргументами.

I. Все адроны могут быть условно разбиты на мультиплеты с данным изоспином так что собственное значение равно Мультиплеты приблизительно вырождены по массе и одинаковы по всем другим квантовым числам, за исключением заряда. Вот хорошо известные примеры.

Нуклон: .

Пион:

резонанс: .

Значение изоспина соответствует количеству зарядовых состояний, которыми обладает частица, так что пробегает интервал значений и проекция на ось связана с зарядом соотношением

(только для нестранных частиц). Таким образом, частица может быть представлена вектором изотопического состояния Разность масс внутри данного мультиплета довольно мала (например, и предполагается, что она вызвана различными электромагнитными взаимодействиями частиц. В сильных взаимодействиях такими различиями можно пренебречь, и поэтому для всех членов мультиплета будем использовать единый символ (например, и предполагать, что все они лежат на одной и той же реджевской траектории, обладающей определенным изоспином. Например, имеет и только при рассмотрении электромагнитных взаимодействий нужно учесть тот факт, что на самом деле существуют две слабо расщепленные траектории .

II. Различные амплитуды рассеяния, включающие эти частицы, связаны соотношениями, вытекающими из изотопической инвариантности; они зависят от величины но не зависят от т. е. сильные взаимодействия обладают зарядовой независимостью. Это свойство будет рассмотрено в разд. 6.7.

Иногда удобно рассматривать изодублет

как фундаментальный изотопический спинор, из которого могут быть построены все другие мультиплеты (так же как все возможные угловые моменты могут быть построены сложением различного числа частиц

со спином 1/2). Этот спинорный изодублет может быть представлен в виде столбца

который преобразуется под действием как

где любая унитарная матрица размерностью Любая такая матрица может быть записана в виде

где — произвольный параметр; единичный трехмерный вектор, а компонентами являются матрицы Паули

Соответствующие «античастицы» представляются в виде изоспина-строки

Формально, комбинируя можно построить все остальные изо-мультиплеты. Так, например,

соответствует синглету с как, например, -мезон, в то время как

образуют триплет соответственно, как, например, -мезон.

Рис. 5.1. Суперпозиция двух изодублетов с приводящая к четырем состояниям, одним с двум с и одним с

Таким образом, по крайней мере в формальном смысле, можно рассматривать и -мезоны как связанные состояния нуклон-антинуклонной системы

как показано на рис. 5.1. Это полностью аналогично построению состояний атома гелия со спином 0 и 1 из двух электронов со спином 1/2.

5.2б. SU(3)

Чтобы учесть тажке и странные частицы, развитая выше схема должна быть расширена. Выберем в качестве фундаментального представления трехкомпонентный спинор:

преобразующийся под действием как

где теперь унитарная матрица размерности которая может быть записана в виде

Здесь а — восьмимерный единичный вектор; -матрицы приведены в табл. 5.1. Они соответствуют трем -матрицам группы (5.2.5).

Таблица 5.1 (см. скан) -матрицы группы

Три частицы были введены Гелл-Маном [188] и Цвайгом [418] и названы «кварками». Приписанные им квантовые числа показаны в табл. 5.2. Ясно, что и -кварки не могут быть идентифицированы с протоном и нейтроном в (5.2.2), так как они имеют, между прочим, Нужен также и триплет антикварков

Нет никаких подтверждений тому, что такие кварки действительно существуют, но, по крайней мере, они представляют собой очень удобную схему для классификации по группе К тому же, как мы будем специально обсуждать в гл. 7, наблюдаемые адроны ведут себя так, как если бы они были на самом деле составлены из кварков. (Полный обзор свидетельств в пользу кварковой структуры адронов в электромагнитных и слабых взаимодействиях дан в

Таблица 5.2 (см. скан) Квантовые числа кварков

Барион состоит из трех кварков (чтобы получить в то время как мезоны составлены из кварк-антикварковых пар. Гиперзаряд определен через странность 5 следующим образом:

Тогда заряд дается соотношением Гелл-Мана-Нишиджимы

вместо выражения (5.2.1).

Взяв все возможные комбинации кварка и антикварка, как показано на рис. 5.2, получим

Рис. 5.2. (а) Триплеты кварков и антикварков . (б) Разложение Каждый кварк, обозначенный О, объединяется с триплетом антикварков, что дает девять состояний, которые отождествляются с изображенными справа псевдоскалярными мезонами

так что можно ожидать, что мезоны будут объединяться в нонеты, причем каждый нонет состоит из синглета и октета с квантовыми числами, показанными на рис. 5.2. Надежно установленные мезоны, сгруппированные в такие мультиплеты, приведены в табл. 5.3. Очевидно, что для масс частиц симметрия сильно нарушается и расщепление масс по в намного больше, чем расщепление масс по 4 в группе изоспина.

Таблица 5.3 (см. скан) Мезонные нонеты и составляющие их кварки

Неясно также, как можно отличить синглетные состояния, такие, как от октетного состояния с теми же квантовыми числами В схеме с нарушенной симметрией наблюдаемые и -мезоны могут быть смесью -чистых состояний, например:

Фсодсозб

где — угол смешивания. Так называемое «идеальное» значение угла смешивания равно

В таком случае из табл. 5.3 найдем, что

так что со не содержит странных кварков. Это идеальное смешивание справедливо для векторных и тензорных мезонов, но не выполняется для псевдоскалярных.

Предполагается, что расщепление масс внутри данного мультиплета вызвано тем, что -кварк имеет массу, отличную от масс и -кварков. Таким образом, если мы положим то в случае идеального смешивания для векторных мезонов получим

что дает

Однако обычно предполагается (без очень убедительных причин), что эти соотношения должны на самом деле записываться для квадратов масс, т. е. выполняется довольно хорошо, так как массы мезонов много больше, чем разности масс. Самые легкие мезоны — псевдоскалярные — не удовлетворяют соответствующим массовым формулам ни для ни для что обычно принимается как свидетельство того, что смешивание между далеко от идеального [264].

Как псевдоскалярный так и векторный нонеты можно построить из кварков со спином 1/2 в состоянии с орбитальным моментом так как они отвечают соответственно антипараллельному (полный спин кварков или параллельному расположению спинов кварков. Мезоны с более высоким спином могут рассматриваться как орбитальные возбуждения пары Поскольку будучи фермионами, имеют противоположную внутреннюю четность, четность состояния равна

и для состояний с зарядовая и -четности равны

Так как спин мезона равен то для получается только и -нонеты с и 1 соответственно, в то время как для существуют четыре возможных нонета: скалярный два аксиальных и тензорный В табл. 5.3 дано возможное размещение мезонных состояний по нонетам в соответствии с этой классификацией.

Реджевская теория предсказывает, что можно ожидать повторения каждого из этих шести нонетов, когда величина возрастает на 2. В следующем разделе мы увидим, что на опыте наблюдали только

некоторые из этих возбужденных состояний. Однако это едва ли удивительно, потому что мезоны обычно можно наблюдать в экспериментах типа

Резонанс 4 наблюдается как пик в сечении по инвариантной массе продуктов его распада при причем будут иметь угловое распределение, отвечающее спину, частицы 4 (см. разд. 4.2). Но при больших значениях можно ожидать, что в сечение образования системы будут давать вклад много парциальных волн и таким образом выделение этого распада в трехчастичном конечном состоянии становится затруднительным.

Рис. 5.3. Декуплет и октет барионов

Еще более трудно обнаружить мезоны с неестественной четностью, так как они распадаются только на три (или большее число) частицы.

Ситуация более благоприятна для барионных резонансов, которые могут быть образованы в экспериментах по мезон-барионному рассеянию типа

Для того чтобы обнаружить резонанс, достаточно провести парциально-волновой анализ двухчастичного конечного состояния. Поэтому известно гораздо больше барионных резонансов.

Барионные резонансы построены из трех кварков

(см. 184]), и поэтому бар ионы должны образовывать синглеты, октеты и декуплеты, квантовые числа которых показаны на рис. 5.3.

Низшие по массе состояния с могут иметь или 3/2 (табл. 5.4), и опять можно ожидать при больших массах более высоких значений (Будем игнорировать трудность, связанную с тем, что поскольку кварки-фермионы, то, по-видимому, они обладают антисимметричной волновой функцией и поэтому возрастание массы с

Таблица 5.4 (см. скан) Октет и декуплет барионов с низшей массой и их кварковый состав

далеко не очевидно [264]). Тем же методом, что и ранее, найдем, что расщепление масс в декуплете должно удовлетворять правилу равных интервалов

которое хорошо выполняется. Для октета мы получаем массовую формулу Гелл-Мана - Окубо;

но соотношения не выполняются, так что эффекты нарушения симметрии должны быть и в потенциале взаимодействия кварков,

В дополнение к этим предсказаниям относительно массы частиц -инвариантность дает также соотношения между амплитудами рассеяния, которые будут исследованы в разд. 6.7.

Приведенная выше схема является наиболее простым вариантом кварковой модели. Открытие двух долгоживущих векторных мезонов

(3100) и (ссылки см. в 1328]) усилило интерес к более сложным схемам, включающим четвертый с-кварк с квантовыми числами

где С — новое квантовое число, называемое шарм, собственное значение которого для и -кварков равно 0. Предполагается, что и являются связанными состояниями в системе а основные мезонные нонеты группы образованные как произведение увеличиваются до -плетов группы получающихся как Однако этот четвертый кварк должен быть намного тяжелее, чем другие, поэтому очарованные частицы (образованные из тяжелее, чем мезоны нонета. В самом нонете -симметрия и смешивание приблизительно сохраняются. Открытие очарованных частиц сильно повысило интерес к этой модели и к другим близким схемам, основанным на «цветных» кварках (обзоры на эту тему см. в 1185, 351, 402]).

Важным подтверждением кварковой модели является то, что все наблюдаемые мезоны имеют квантовые числа, отвечающие системе как это показано на рис. 5.2, а все барионы имеют квантовые числа, которые могут быть получены в системе (см. рис. 5.3). Каналы, имеющие другие квантовые числа, например -канал с изоспином или -канал с называются экзотическими каналами и как будто не содержат резонансов. Все хорошо установленные резонансы имеют неэкзотические квантовые числа.