2.5. Сигнатура

В выражении (2.3.4) парциальные амплитуды определяются с помощью интегралов от скачков полной амплитуды на правом -канал) и левом (и-канал) разрезах в плоскости (см. рис. 2.2). Можно легко получить асимптотическое поведение этих интегралов при исходя из (2.4.2). Так как правый разрез в плоскости

начинается всегда правее единицы, то действительная и положительно определенная функция [см. (2.4.1)] и для имеем

Вдоль левого разреза

и когда амплитуда неограниченно растет. В разд. 2.7 мы должны будем выразить амплитуды рассеяния в виде контурного интеграла в комплексной плоскости I и, естественно, эта расходимость мешала бы это сделать.

Для того чтобы обойти эту трудность, введем парциальные амплитуды с определенной сигнатурой следующим образом (для простоты пренебрежем полюсными членами):

где оба интеграла берутся вдоль положительной оси Амплитуды с сигнатурой мы будем называть амплитудами с четной сигнатурой, а амплитуды с амплитудами с нечетной сигнатурой. Вследствие того что удовлетворяет соотношению отражения совершенно очевидно из сравнения с (2.3.4), что

Приведенные выше целые значения являются физическими и поэтому в дальнейшем мы их будем называть «точками своей сигнатуры» амплитуд а) (т. е. четные для четной сигнатуры, и наоборот), а целые нефизические значения (т.е. нечетные для четной сигнатуры, и наоборот) назовем «точками чужой сигнатуры». Из определения (2.5.3) следует

Мы можем просуммировать ряд по парциальным амплитудам с определенной четностью

Четная часть в плоскости равна четной части а нечетная часть равна нечетной части Эти амплитуды удовлетворяют также и дисперсионным соотношениям (полюсные члены снова опущены)

где s заменено на в знаменателе второго члена вследствие замены в соответствующем члене (2.5.3). Представление Мандельстама для такой амплитуды легко получить из подстановки выражений (1.11.4), (1.11.5) в (2.5.7). сделав при этом некоторые тривиальные замены переменных

Вследствие того что мы взяли амплитуды с определенной сигнатурой в -канале, произошла потеря симметрии по Конечно, рассмотренные нами амплитуды с определенной сигнатурой являются нефизическими, так как в определение (2.5.3) уже включено изменение знака Однако из выражения (2.5.6) с помощью (2.5.4) и можно получить физические амплитуды

В дальнейшем при построении аналитического продолжения по мы всегда будем использовать амплитуды а не

В случае кинематики с равными массами выражение для дается (1.7.22) и полюс находится в точке Тогда, вспоминая о (2.5.1), мы можем ввести для амплитуды

которые имеют хорошее асимптотическое поведение, когда в отличие от самих В следующем разделе мы найдем, что пороговое поведение амплитуд а) и требуемый фактор (2.11) автоматически включается.