6.5. Дочерние и конспирирующие траектории

При получении (6.3.7) для вклада реджевского полюса в амплитуду рассеяния при асимптотическом поведении функций вращения мы использовали выражение (6.2.26). Однако из (1.7.15) и (1.7.19) очевидно, что в случае неравных масс при [равных ±1, см. (6.2.19)] для всех Это могло бы, казалось, свидетельствовать о том, что амплитуды рассеяния в случае неравных масс не будут обладать реджевским поведением при Но на самом деле это не так, потому что точка не является особой точкой приведенной амплитуды рассеяния

Ошибку в предыдущих рассуждениях легче обнаружить, если переписать (1.7.19) в виде

где величина

сингулярна при в случае неравных масс. Проведем затем разложение

где дается выражением может быть выведена из формулы После подстановки (6.5.1) и (6.2.30) в (4.6.4) получаем

Итак, каждый член разложения порядка имеет при особенность вида Это как раз те самые сингулярности, которые обсуждались ранее.

Однако, поскольку, как предполагается, амплитуда удовлетворяет представлению Мандельстама, она должна быть аналитична при так что должны быть какие-то другие вклады, которые сокращают эти. Эти члены могли бы содержаться в фоновом интеграле [132], но более общепринято предположение [174], что существуют другие траектории, называемые дочерними, сингулярные вычеты которых точно сокращают особенности первоначальной родительской траектории. Таким образом, первая дочерняя траектория будет иметь траекторию

а вычет

что сокращает второй член в (6.5.3). В действительности необходима бесконечная последовательность дочерних траекторий со значениями

(6.5.6)

Нечетные дочерние траектории должны иметь сигнатуру, противоположную сигнатуре родительской траектории, т. е. поэтому их сигнатурные множители совпадают с сигнатурными множителями родительской траектории при

Существует большое число свидетельств в пользу существования таких дочерних траекторий; они приведены на рис. Вычисления траекторий в случае равных масс в рамках уравнения Бете-Солпитера [137] дают довольно своеобразное поведение дочерних траекторий (рис. 6.2) и не приводят к частицеподобным решениям. Если члены без особенностей (6.5.5) не важны, то дочерние траектории не обязательно проявляются по энергетическому поведению в s-канале, к тому же, поскольку их основное предназначение — обеспечение поведения при всех они могут маскироваться другими особенностями (разрезами и т. п.). В следующей главе мы обсудим причины, по которым такие траектории должны существовать вместе с родительскими (см. рис. 7.5).

Другая проблема реджевских полюсов при заключается в том, что вычеты не могут иметь кинематического поведения (6.2.23), а только то, которое дается выражением (6.2.25) (в данный момент пренебрежем факторизацией). Это так потому, что, как можно вывести из (6.2.22), амплитуды с определенной четностью должны удовлетворять условию

Используя (6.2.25), мы можем обойти это ограничение, включив в вычет реджевского полюса дополнительный множитель Это необходимо сделать, так как реджеон может присутствовать только в амплитуде с определенной четностью.

Рис. 6.2. Реджевские траектории, полученные в работе [137] с использованием уравнения Бете-Солпитера с потенциалом с отталкивающим кором.

Непрерывные и пунктирные кривые отвечают различным значениям константы связи. Налицо удивительное поведение дочеринх траекторий

Однако, если бы существовали две траектории с противоположной четностью, они могли бы «конспирировать» чтобы удовлетворить условию (6.5.7) [77, 275, 395]. При этом потребовалось бы, чтобы

где обозначают четность ±1. Такая конспирация приводила бы к

вместо (6.2.29), которое ведет себя как

Ясно, что это поведение не приводит к факторизации по но тем не менее можно выбрать определенную амплитуду, например с где данное число, называемое «числом Толлера»,

которая имеет самое сингулярное поведение из всех возможных. Тогда факторизация требует, чтобы другие спиральные амплитуды вели себя как

и для конспирирующей траектории параметр заменяется на значение из табл. 6.1. Применяя соотношение кроссинга (4.3.7) и (6.4.5), получаем

так что, в отличие от (6.4.7), амплитуда с не будет обращаться в нуль при

Простым примером является процесс когда в переднем конусе доминирует обмен -мезоном. Поскольку для фотона может равняться только ±1, а для бесспинового пиона то из (6.4.10) видно, что поэтому из-за (6.4.7) все амплитуды будут убывать при следовательно, в должен появляться минимум при В действительности экспериментальные данные указывают на наличие острого пика в рассеянии вперед с шириной который может быть объяснен как результат конспирации с между -траекторией и аналогичной траекторией с естественной четностью, приводящей к поведению (6.5.11) [30]. Однако не существует скалярной частицы, аналогичной пиону, было показано [2763, что такая конспирация несовместима с факторизацией в других процессах с -обменом. Поэтому кажется более правдоподобным, что пик вперед обусловлен реджевскими разрезами (см. рис. 6.3 и разд. Для мезонных траекторий как будто нет никаких свидетельств конспираций.

Рис. 6.3. Амплитуда рассеяния для процесса свидетельствующая о вкладе пионного полюса и реджевского разреза. Разрез и полюс образуют наблюдаемый на опыте в рассеннни вперед

Однако конспирации существенны, если фермионное число обмениваемой траектории нечетно. После формулы (6.2.25) было упомянуто, что при умножении вычета на будут возникать нефизические корневые ветвления при Действительно, делая замену в (6.2.24), получаем, что для полуцелых

Это называется обобщенной симметрией Мак-Дауэлла [2911 и означает, что в случае барионов должна быть конспирация между траекториями с противоположной четностью и числом Толлера так что

Если такие траектории четны по как в случае линейной траектории (5.3.2), то эти две траектории должны совпадать и можно ожидать, что барионы существуют в виде вырожденных дуетов противоположной четности. Включение членов, нечетных таких, как

снимает вырождение, но одновременно изгибает траектории. Однако мы видели в разд. 5.3, что барионные траектории линейны по но не вырождены по четности. Для того чтобы обратить в нуль нежелательные состояния, можно обратить в нуль вычеты или ввести точку ветвления при и поместить нежелательные состояния на нефизическую сторону разреза (см., например, [83] и разд. Однако правильное объяснение этой проблемы еще не известно.