11.5. Производящая функция

Очень полезным инструментом для изучения корреляций в моделях этого вида является метод производящих функций, предложенный Мюллером [315].

По аналогии со статистической механикой производящая функция определяется так:

где сечение образования частиц (потому что в конечном состоянии имеется частиц) при данном (которое определяет размер распределения по быстротам при фиксированной входной энергии произвольный параметр.

Ясно, что точка особо выделена, потому что

и т. д. Эти выражения получаются с помощью формул (10.3.11) и (10.3.16). Таким образом, поведение функции в окрестности дает среднюю множественность образующихся частиц и поэтому можно переписать (11.5.1) как

(где, по определению, мы положим

Если взять -кратную производную (11.5.1) по 2, а затем положить 2 равной нулю, то получим

и, следовательно, (11.5.1) можно рассматривать как ряд Тейлора для функции около точки выделенность точки еще и в том, что поведение в окрестности этой точки дает все многочастичные сечения.

Другой ряд полезных соотношений получается, если рассмотреть

поскольку

а в общем случае

Итак, функция позволяет прямо получить все корреляционные коэффициенты и дает способ получения коэффициентов С из и наоборот.

В качестве тривиального примера можно рассмотреть мультипериферическую модель, в которой мы ожидаем отсутствия корреляций, потому что каждая частица испускается независимо. Из (11.3.32) следует

Подстановка этого выражения в определение (11.5.1) дает

Следовательно, в согласии с (11.3.33) имеем

однако

Аналогичным способом вычисляются все остальные корреляционные коэффициенты, которые оказываются равными нулю вследствие свойства факторизации, заложенного в этой модели.

Вообще говоря, из-за наличия только коротких корреляций можно ожидать, что все возрастают логарифмически типа поскольку, например, если с обращается в нуль при ( — корреляционная длина), то интеграл в (10.10.3) будет пропорционален длине полного быстротного интервала. Это подразумевает, что можно написать формулу

где полиномы по Мультипериферическая модель согласно (11.5.12) имеет в качестве этих полиномов следующие:

Выражение (11.5.15) очень напоминает зависимость для статистической механики газа [см. книгу Харари [226]). Большой термодинамический потенциал связан со свободной энергией Гельмгольца А с помощью соотношения

Эта энергия Гельмгольца может быть представлена как сумма объемной энергии поверхностной энергии 5, т. е.

а

Если теперь мы рассмотрим пространство быстрот (см., например, рис. 11.10) как сосуд, содержащий одномерный «газ», причем этот сосуд имеет длину (положение его стенок определяется быстротами налетающих частиц), то (11.5.18) может быть идентифицировано с (11.5.15) (если энергия измеряется в единицах Результат (11.5.18), полученный в рамках статистической механики, предполагает, что имеются только короткие корреляции между молекулами газа вследствие короткодействующего взаимодействия как между молекулами, так и между молекулами и стенками сосуда. Поэтому при

Конечно, применимость этих статистических идей при существующих энергиях является довольно сомнительной, потому что даже при энергиях

a, как мы видели раньше, корреляционная длина [см. (10.10.23)]. Поэтому, конечно, совершенно ясно, что очень трудно найти оправдание использованию методов статистической механики для газа в сосуде, длина которого всего в четыре раза больше радиуса межмолекулярных сил. Однако, как мы увидим позднее, метод производящей функции — очень полезный технический прием при вычислении корреляций и других характеристик при изучении различных моделей.