9.3. Мультиреджеонные амплитуды рассеяния

Представление Грибова — Фруассара (2.5.3), с помощью которой были определены полюса Редже в двухчастичных реакциях, содержит интегрирование по разрезу в плоскости s амплитуды рассеяния (2.7.2). Полюсная особенность проявляется в том, что скачок на разрезе имеет степенное поведение. И поэтому, когда мы хотим рассматривать мультиреджеонный предел многочастичного процесса рассеяния, мы должны быть готовы к встрече с разрезами одновременно по нескольким комплексным переменным.

Очень существенно, что эти разрезы должны быть независимыми в асимптотической области. В случае точек ветвления, отвечающих нормальным порогам, очень легко понять, когда они являются независимыми. Введем теперь понятие перекрывающихся каналов. В

случае амплитуды рассеяния каналы являются перекрывающимися. Инварианты, отвечающие этим каналам, определяются следующим образом:

причем частицы входят в эти каналы в качестве общих частиц. В свою очередь, неперекрывающимися каналами являются каналы типа тех, которым отвечают инварианты и которые не содержат общих частиц. Эти каналы являются независимыми. Точка ветвления, отвечающая нормальному порогу некоторого канала, — это особенность, которая возникает только в плоскости инварианта, характеризующего этот канал [например, в канале (12) пороговая точка ветвления возникает при и разрезы, отвечающие нормальным порогам неперекрывающихся каналов, независимы один от другого. Однако, например, более сложные кривые Ландау, отвечающие аномальньш порогам, не обладают свойством независимости. Например, в случае квадратной диаграммы (см. рис. 1.10, б) возникает двойной разрез, положение которого задается некоторой кривой в плоскости Обычно предполагается, что учет разрезов, отвечающих нормальным порогам, достаточен для того, чтобы получить реджевское асимптотическое поведение, причем в этом случае только неперекрывающиеся каналы имеют одновременные реджевские разрезы. Этот факт является совсем тривиальным в случае рассеяния так как очевидно, что в перекрывающихся -каналах нет одновременного реджевского поведения, однако этот факт не является строго установленным для некоторых, более сложных амплитуд, так как это утверждение полностью справедливо в некоторых простых моделях, таких, как лестничные диаграммы или дуальные модели (поэтому в дальнейшем мы его будем считать всегда достоверным) [69].

Вообще говоря, имеется несколько различных асимптотических пределов, которые могут быть рассмотрены для данной амплитуды, причем конфигурация частиц определяет, какие переменные устремляются к бесконечности, а какие — держатся фиксированными. Таким образом, в случае пятичастичной амплитуды рис. 9.1 имеются следующие возможности.

Рис. 9.7. Амплитуда перехода Инвариант перекрывается с инвариантом не перекрывается с инвариантом

а. Однореджеонный предел. В этом случае другие углы и инварианты в (9.2.32) держатся фиксированными. Это означает, что из следовательно, из (9.2.10), а и 4 держатся фиксированными. Также можно держать фиксированным или для этого требуется держать фиксированным отношение когда стремятся к бесконечности.

Этому пределу соответствует однореджеонный график рис. 9.1, в. Очевидно, что существуют три однореджеонных предела амплитуды в зависимости от того, что устремляется к бесконечности: или

б. Двухреджеонный предел. В этом случае а другой угол — угол Толлера и инварианты в (9.2.32) остаются фиксированными. Или это означает, что фиксированы, а также неизменным является отношение чтобы оставались фиксированными.

Этому случаю отвечает двухреджеонный график рис. 9.1, б, кроме того, можно получить другие двухреджеонные пределы типа рис. с помощью перестановки частиц в конечном состоянии.

в. Спиральный предел. В этом пределе а переменные фиксированы, или по-другому: при условии, что фиксированы Так как в этом пределе то совершенно ясно, что это нефизический предел.

Очевидно, что однореджеонный предел (а) является очень похожим на обычный реджеонный предел в двухчастичном рассеянии; единственное отличие состоит в том, что одна из «частиц» в конечном состоянии на самом деле является двухчастичным состоянием с фиксированным квадратом инвариантной массы. Все это сильно напоминает образование резонансов в квазидвухчастичных процессах, и в дальнейшем мы еще обсудим это. Двухреджеонный и спиральный пределы (б) и (в) являются совершенно новыми и существенно зависят от того, какие три частицы образуются в конечном состоянии. Их мы подробно рассмотрим ниже.

Рассуждение, которое было проведено выше, легко обобщается на случай любого многочастичного конечного состояния. В однореджеонном пределе все инварианты, которые охватывают реджеонную линию (например, на рис. 9.1, б), стремятся к бесконечности, причем их отношения должны оставаться фиксированными, тогда как все остальные независимые инварианты (типа удерживаются неизменными. В мультиреджеонном пределе те инварианты, которые охватывают любую реджеонную линию (например, на рис. 9.1, б), все стремятся к бесконечности, тогда как все остальные держатся фиксированными. Отношения тех инвариантов, которые охватывают данный реджеон, мы также держим фиксированными, в то время как те инварианты, которые охватывают несколько реджеонов (например, охватывает на рис. 9.1, б), стремятся к бесконечности как произведение инвариантов, охватывающих отдельные индивидуальные реджеоны (например, В спиральном пределе только те инварианты, которые охватывают сразу два реджеона, стремятся к бесконечности с фиксированным их отношением, так что угол Толлера между этими двумя реджеонами стремится к бесконечности.

Сейчас мы приступим к более детальному изучению вопроса о реджезации амплитуды на рис. 9.1. Для того чтобы получить результаты в физической области s-канала, некоторые авторы предпочитают пользоваться теоретико-групповым методом и рассмотреть группу О (2,1)

(применение этой группы при рассеянии изложено в разд. 6.6); см. [28, 256, 385]. Однако в дальнейшем будем использовать другой метод, основанный на использовании преобразования Зоммерфельда — Ватсона разложения по парциальным амплитудам в -канале, при этом будем предполагать, что продолжение по может быть проделано без каких-либо трудностей.

В однореджеонном пределе (а) мы будем исследовать -канальный процесс считая систему (15) квазичастицей (см. рис. 9.4, а). Итак, следуя рассмотрению разд. 4.6, начинаем с разложения по парциальным волнам в -канале (4.5.10):

где угловой момент частицы 3 по отношению к частице 2, причем помимо суммирования по всем парциальным волнам необходимо суммирование по всем возможным спиральностям к квазичастицы (15). Из сохранения углового момента следует, что не может быть больше, чем (Уместно напомнить, что ради простоты предполагали, что все частицы бесспиновые.) Второе выражение в (9.3.1) кажется несколько более подходящим для совершения продолжения по (хотя в действительности возможно, что лучше сначала совершить продолжение по к [194, 405, 408]). Фактор -никает потому, что [см. (4.4.7) и (4.2.14)] Дает азимутальный угол при «распаде» системы по определению, к измеряется при проектировании на направление движения системы (15).

Заменим сумму в (9.3.1) на интеграл Зоммерфельда-Ватсона (4.6.1) в комплексной плоскости и будем смещать контур интегрирования налево до тех пор, пока не захватим полюс Редже а (4), отвечающий главному члену асимптотического поведения амплитуды; вклад, даваемый этим полюсом, можно записать в виде

где вычет в полюсе факторизуется, разделяясь на часть отвечающую вершине перехода и на часть , соответствующую вершине перехода кроме того, содержится нефизический фактор Если ввести функцию

которая является преобразованием Фурье от и перейти к пределу

то можно переписать выражение для амплитуды в более удобном виде

очень напоминающем выражение для амплитуды

В случае двухреджеонной асимптотики начнем рассмотрение с двойного разложения амплитуды по парциальным волнам [262, 377], т. е.

где Если затем сделать преобразование Зоммерфельда — Ватсона по и выделить основной реджевский полюс в каждом канале, то получится двухреджеонный асимптотический предел

где функция задает связь в центральной вершине которая зависит от угла Толлера, а также и от инвариантов

Возможно, что помимо включения зависимости от , эти результаты окажутся такими же, какие мы должны бы были наивно ожидать из рассмотрения диаграмм рис. 9.1, б. Однако совершенно естественно, что в данный момент мы не можем ответить на этот вопрос с полной определенностью потому, что мы совершенно не беспокоились о скачках на разрезах в различных инвариантах и, в частности, полностью игнорировали тот факт, что реджеоны имеют сигнатуру и, следовательно, существуют разрезы амплитуды как при положительных, так и при отрицательных значениях Эти разрезы придают амплитуде некоторую фазу. Сейчас необходимо исправить этот недостаток.

Предположение о том, что отсутствуют одновременные реджевские скачки в инвариантах, характеризующих перекрывающиеся каналы, означает, например, то, что скачок по сам не должен иметь скачка по хотя он может иметь скачок по Итак, ожидается, что скачок по содержит члены типа

где — вещественные функции переменной (при отрицательных Оба эти члена пропорциональны асимптотически так как в двухреджеонном пределе однако первый член имеет разрез при положительных (так же как и при положительных в то время как второй член

этого разреза не имеет. Также хотелось бы, чтобы реджеоны имели определенную сигнатуру, т. е. например, реджеон а давал скачок при положительных и такой же скачок при отрицательных точностью до знака который определяется сигнатурой реджеона и тогда мы имели бы равные амплитуды при замене

Рис. 9.8. Четыре различных члена в двухреджеонной амплитуде, появляющихся вследствие сигнатурных свойств реджеснов. Крестик на реднсеоне означает, что он перекручен подобно тому, как перекручивались лестницы рис. 8.11

Таким образом, имеются четыре различных члена (это наглядно видно из рис. 9.8), комбинируя которые в физической области, где все реджевские функции вещественны, получаем [152]

где

Это выражение может быть выражено в более удобной форме как

где

и

Выражение можно считать реджеонным пропагатором, а все остальное объединено в функцию которая задает вершину, связывающую частицу 4 с двумя реджеонами. В случае более сложных амплитуд, когда имеется цепочка реджеонов, следующих друг за другом, типа показанных на рис. 9.6, а, вычисления проводятся очевидным образом и сводятся просто к увеличению числа реджеонных

пропагаторов и вершин Однако уже в случае шестичастичных амплитуд возникают конфигурации нового типа, в которых появляется связь трех реджеонов (см. рис. 9.6, б). В этом случае амплитуда пишется следующим образом [274]:

причем, как и в предыдущем случае, все проблемы, связанные с фазами, скрыты в трехреджеонной вершине С помощью тщательного анализа [375] было найдено, что

где

Функции V — вещественные функции. Любая мультиреджеонная диаграмма может быть выражена с помощью и которые, конечно, будут являться функциями соответствующих инвариантов [403, 404].

Теперь перейдем к обсуждению другого предела — спирального предела (в) [68]. Начнем рассмотрение с того, что напишем, как и в предыдущем случае, двойное разложение по парциальным волнам (9.3.5)

и выразим все три суммирования с помощью контурных интегралов типа (4.6.1)

Если в этом выражении взять интегралы по ограничиваясь лидирующими реджевскими полюсами в каждой из плоскостей и рассматривая асимптотическое поведение функций (несмотря даже на то, что фактически аргумент не будет большим), то получится

где функция, характеризующая связь в центральной вершине. Используя затем условие

можно переписать все в следующем виде:

(см. подробнее [69, 407]). Затем, переходя к пределу при фиксированных значениях находим, если развернуть контур в плоскости это главный член асимптотического поведения возникает от «спиральных полюсов» -функций при и имеет вид

Итак, в этом спиральном пределе реджевское поведение возникает из-за нефизических -факторов, которые отвечают за связь каждого данного реджеона со спиральностью другого реджеона.

В следующей главе будет дан ответ на вопрос, какова польза от рассмотрения такого предела.